Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
17 septembre 2009 4 17 /09 /septembre /2009 14:15


I. Notations et définitions

Dans toute la suite, on désigne par K un corps commutatif (en général \mathbb{R} ou \mathbb{C}) et par E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 0, par exemple E=K^n.
On note {\cal{M}_n(K) le K-espace vectoriel des matrices carrées n \times n à coefficients dans K et GL_n(K) le groupe multiplicatif des matrices inversibles dans {\cal{M}_n(K).
On dit qu'une matrice A = (a_{ij})_{{1\leq i \leq n} \atop {1\leq j\leq n}} de {\cal{M}_n(K) est triangulaire si et seulement si a_{ij} = 0 pour 1 \leq j < i \leq n et on dit qu'elle est diagonale si a_{ij}=0 pour i\neq j. Si d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n sont des éléments de K on note Diag(d_1 \, , \, \cdots \, , \, d_n) la matrice (d_{ij})_{{1\leq i \leq n}\atop{1\leq j\leq n}} telle que d_{ii}=d_i et d_{ij}=0 si i\neq j. Par exemple, la matrice unité I_n et la matrice nulle O_n sont respectivement les matrices diagonales Diag(1 \, , \, \cdots \, , \, 1) et Diag(0 \, , \, \cdots \, , \, 0).

Deux matrices A et B de {\cal{M}_n(K) sont semblables si et seulement s'il existe une matrice inversible P telle que B = P^{-1} A P.
Une matrice A de {\cal{M}_n(K) est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale et elle est triangulable (ou trigonalisable) si et seulement si elle est semblable à une matrice triangulaire.
Une matrice A de {\cal{M}_n(K) est nilpotente si et seulement s'il existe un entier m > 0 tel que A^m = O_n.
Le polynôme caractéristique d'une matrice A \in \cal{M}_n(K) est le polynôme \chi_A = \det\left(XI_n - A\right).

Un endomorphisme linéaire de E est une application linéaire u : E \to E. Un automorphisme de E est un endomorphisme bijectif de E. On note \cal{L}(E) l'espace vectoriel des endomorphismes linéaires de E.
Soit u \in \cal{L}(E). Si \cal{B} = (e_1 \, , \, \cdots \, , \, e_n) est une base de E, on appelle matrice de u par rapport à la base \cal{B}, la matrice M_{\cal{B}}(u) de \cal{M}_n(K) dont la j-ème colonne contient les coordonnées de u(e_j) par rapport à la base \cal{B}.
On dit que u est diagonalisable (resp. triangulable) si et seulement s'il existe une base \cal{B} de E telle que la matrice M_{\cal{B}}(u) soit diagonale (resp. triangulaire.)

Un élément \lambda \in K est une valeur propre de u si et seulement s'il existe v \in E tel que v \neq 0 \qquad \text{et} \qquad u(v) = \lambda v
Un tel élément v est un vecteur propre de u relatif à \lambda.
Si \lambda \in K, on pose V_\lambda = \lbrace v \in E \mid u(v) = \lambda v\rbrace = \ker(\lambda Id_E-u)
Donc \lambda est une valeur propre de u si et seulement si V_\lambda\neq \lbrace 0\rbrace et dans ce cas V_\lambda est le sous-espace propre de urelatif à \lambda.

Un sous-espace vectoriel F de E est stable pour u si et seulement si u(F)\subset F.
On appelle polynôme caractéristique de u le polynôme \chi_u = \chi_{M_{\cal {B}}(u)}, où \cal{B} est n'importe quelle base de E.

On dit qu'un polynôme non constant P \in K[X] a toutes ses racines dans K s'il se décompose en facteurs du premier degré dans K[X].

Soit P = a_mX^m + \cdots + a_0 un polynôme à coefficients dans K. Pour toute matrice A \in \cal{M}_{n}(K) et pour tout endomorphisme u \in \cal{L}(E) on pose
\begin{array}{l} P(A)=a_mA^m+\cdots+a_0I_n\\ P(u)=a_mu^m+\cdots+a_0Id_E\end{array}
On appelle polynôme minimal d'un endomorphisme u ( resp. d'une matrice A) et on note \mu_u ( resp. \mu_A) le polynôme unitaire de degré minimal tel que \mu_u(u)=0_{\cal{L}(E)} (resp. \mu_A(A)=O_n)

II. Propriétés

Dans tout ce paragraphe on fixe un endomorphisme u\in \cal{L}(E).
Le polynôme caractéristique \chi_u est un polynôme unitaire de degré n. Son terme constant vaut (-1)^n\det u.
Soit P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_0 un polynôme unitaire de degré n. La matrice compagnon de P est la matrice
M(P)=\left(\begin{array}{ccccl} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\ \ \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{array}\right)
Par calcul on voit que \chi_{M(P)}=P et on prouve que l'on a aussi \mu_{M(P)}=P.
Proposition :

Soit \lambda\in K. Les conditions suivantes sont équivalentes :
    (i) \lambda est valeur propre de u
    (ii) \lambda Id_E-u n'est pas un isomorphisme
    (iii) \det(\lambda Id_E-u)=0
    (iv) \chi_u(\lambda)=0
    (v) \mu_u(\lambda)=0
Soient v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k des vecteurs propres relatifs à des valeurs propres \lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_k distinctes de u.
Alors la famille \left(v_1 \, , \, \cdots \, , \, v_k\right) est libre.
On en déduit que V_{\lambda_1}+\cdots+V_{\lambda_k}=V_{\lambda_1}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_k}
Proposition :

Si u possède n valeurs propres distinctes, alors u est diagonalisable.
Si F est un sous-espace stable de u, la restriction u' de u à F peut être regardée comme un endomorphisme linéaire de F. On prouve que le polynôme \chi_{u'} divise \chi_u. En particulier, si \lambda est une valeur propre de u qui est racine d'ordre de multiplicité m de \chi_u, en prenant F=V_\lambda, on a \chi_{u'}=(X-\lambda)^{\dim V_\lambda} d'où l'on voit que dim V_\lambda\leq m
Théorème de Cayley-Hamilton :

On a \chi_u(u)=0_{\cal{L}(E)} et \chi_A(A) = O_n pour tout A \in \cal{M}_n(K).
Proposition :

L'ensemble \cal{I} = \lbrace P \in K[x] / P(u)=0\rbrace est un idéal de l'anneau K[X] qui est engendré par le polynôme minimal \mu_ u. Ceci signifie que si P est un polynôme tel que P(u)=0, alors P est divisible par \mu_u. En particulier, \chi_u est un multiple de \mu_u.
Lemme des noyaux :

Soient P_1,...,P_k des polynômes premiers entre eux deux à deux et soit P=P_1\cdots P_k leur produit. On a alors\ker P(u)=\ker P_1(u)\oplus \cdots \oplus \ker P_k(u)
Théorème :

Soient \lambda_1,...,\lambda_k toutes les valeurs propres distinctes de u. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.
    (i) u est diagonalisable
    (ii) il existe une base de E formée de vecteurs propres de u
    (iii) E = V_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_k}
    (iv) \dim V_{\lambda_1}+\cdots +\dim V_{\lambda_k}=n
    (v) \chi_u = (X - \lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}\ {\rm et}\ \dim V_{\lambda_i}=m_i\ {\rm pour}\ 1\leq i\leq k
    (vi) \mu_u = (X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_k)
    (vii) il existe un polynôme P\in K[X] dont toutes les racines sont simples et tel que P(u)=0.
Théorème :

L'endomorphisme u est triangulable si et seulement si \chi_u a toutes ses racines dans K.
Corollaire :

Tous les endomorphismes linéaires d'un \mathbb{C}-espace vectoriel (et toutes les matrices carrées à coefficients dans \mathbb{C}) sont triangulables.

Supposons u triangulable ; alors on peut écrire \chi_u = (X-\lambda_1)^{m_1}\cdots(X-\lambda_k)^{m_k}. Pour 1\leq j \leq k, posons P_j=(X-\lambda_j)^{m_j} et E_j=\ker P_j(u). Les E_j sont les sous-espaces caractéristiques de u. Comme E_j est stable, u induit sur E_j un endomorphisme noté u'_j Avec ces notations on a la
Proposition :

    (i) E=E'_1\oplus\cdots\oplus E'_k
    (ii) \dim E'_j=m_j pour 1\leq j\leq k
    (iii) \chi_{u'_j}=P_j pour 1\leq j\leq k
Décomposition de Dunford :
Si la matrice A\in \cal{M}_n(K) est triangulable, il existe dans \cal{M}_n(K), une matrice diagonalisable B et une matrice nilpotente N telles que A=B+N \qquad \text{et} \qquad BN=NB et cette décomposition est unique.

Soit p le plus grand entier tel que N^p\neq 0. En appliquant la formule du binôme on voit que
\begin{array}{lll} A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^mN^m & \text{ si } & 1\leq m\leq p\\ A^m=B^m+C_m^1B^{m-1}N+\cdots+C_m^{m-p}B^{m-p}N^p & \text{ si } & p<m\end{array}
Comme B est diagonalisable, il existe P \in GL_n(K) et une matrice diagonale D telles que B=P^{-1}DP et alors on a B^q=P^{-1}D^qP pour tout q\in\mathbb{N}. Cette décomposition rend donc très aisé le calcul des puissances successives de A et aussi celui de son exponentielle.

III. Exemples et applications

1. Homothéties

Soit \lambda \in K. L'homothétie de rapport \lambda est l'application h_\lambda définie sur le K-espace vectoriel E de dimension n par h_\lambda(x)=\lambda x.
On a M_{\cal{B}}(h_\lambda) = Diag(\lambda,...,\lambda) pour n'importe quelle base \cal{B} de E. Pour tout u \in \cal{L}(E) on a h_\lambda\circ u = u \circ h_\lambda. On a \chi_{h_\lambda} = (X-\lambda)^n\ {\rm et}\ \mu_{h_\lambda}=X-\lambda.

2. Rotations

Soit \theta \in \mathbb{R}. On désigne par r_\theta la rotation de centre O = (0,0) et d'angle \theta dans \mathbb{R}^2 et par R_\theta la matrice de r_\theta par rapport à la base canonique de \mathbb{R}^2.
On a donc R_\theta = \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)
Si \theta \in \pi \mathbb{Z}, on voit que R_\theta = \pm I_2. Supposons \theta \notin \pi\mathbb{Z}. On a \chi_{R_\theta} = X^2-2X\cos \theta+1
Le polynôme \chi_{R_\theta} n'a aucune racine réelle, donc R_\theta n'est ni diagonalisable, ni triangulable dans \cal{M}_2({\mathbb{R}).

Considérons maintenant R_\theta comme élément de \cal{M}_2({\mathbb{C}). Dans \mathbb{C}[X], on a \chi_{R_\theta} = (X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta}), donc R_\theta est diagonalisable dans {\cal M}_2({\mathbb{C}). On voit que v_1 = (i,1) et v_2 = (1,i) sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres e^{i\theta} et e^{-i\theta}. En calculant l'inverse de la matrice de passage de la base canonique à la base {\cal V}=(v_1 , v_2), on vérifie qu'on a bien
\left(\begin{array}{rr} -i/2 & 1/2 \\ 1/2 & -i/2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} i & 1 \\ 1 & i \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} e^{i\theta} & 0 \\ 0 & e^{-i\theta} \end{array}\right)

3. Matrices nilpotentes

Soit N \in \cal{M}_n(K) une matrice nilpotente non nulle et soit p le plus grand entier tel que N^p\neq O_n. On a \chi_N=X^n\ {\rm et}\ \mu_N=X^{p+1}, donc N est triangulable, mais n'est pas diagonalisable. Par exemple, si p = n-1,N est semblable à la matrice
J_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\0 & & & \ddots & 1\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right)

4. Projecteurs

Un élément u \in \cal{L}(E) est un projecteur si et seulement si u^2=u.
Soit P=X^2-X. Comme P(u) = 0 on ne peut avoir que \mu_u = X et alors u = 0_{\cal{L}(E)}, \mu_u=X-1 et alors u = Id_E ou \mu_u = X(X-1). Dans tous les cas u est diagonalisable.
Si on poseV_0 = \ker u et V_1 = \ker(Id_E-u), on voit que E=V_0 \oplus V_1. On vérifie facilement que V_1 = Im u.

5. Eléments d'ordre fini deGL_n(\mathbb{C})

Soit q un entier strictement positif et soit A une matrice d'ordre q de GL_n(\mathbb{C}), c'est-à-dire telle que A^q = I_n et A^{q-1} \neq I_n. Soit P=X^q-1 =\displaystyle \prod_{m=0}^{q-1}\left(X-e^{\frac{2mi\pi}{q}}\right). On a P(A)=0 et toutes les racines de P sont simples. Il en résulte que A est diagonalisable dans \cal{M}_n(\mathbb{C}) et est semblable à une matrice diagonale ayant comme termes diagonaux des racines q-ièmes de l'unité.

6. Sous-espaces stables d'un endomorphisme diagonalisable

Soit u \in \cal{L}(E) un endomorphisme diagonalisable et soit Fun sous-espace de E stable par u. On note u' l'endomorphisme induit sur F. Le polynôme \mu_u se décompose en facteurs du premier degré dans K[X] et on a \mu_u(u') = 0, donc u' est diagonalisable.

7. Suites récurrentes

Soit k un entier strictement positif, a_0 \, , \, \cdots \, , \, a_{k-1} des nombres réels et soit E l'ensemble des suites réelles (x_n) qui vérifient la condition (\forall n \in \mathbb{N}) \x_{n+k}=a_0 x_n + \cdots + a_{k-1} x_{n+k-1}\qquad\qquad(*).
E est un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension k.
Soit P=X^k-a_{k-1} - \cdots- a_0, et soit M la matrice compagnon de P.
Posons pour n \in \mathbb{N}, X_n = (x_n \, , \, \cdots \, , \, x_{n+k-1}). Pour tout n, on a X_{n+1}={}^tMX_n et par suite X_n={}^tM^nX_0. Il suffit de calculer les puissances de M pour avoir X_n en fonction de X_0, ou encore x_n en fonction de x_0 \, , \, \cdots \, , \, x_{k-1}. De plus, comme \chi_M = P, on sait si M est diagonalisable ou triangulable.

8. Suites de Fibonacci

Soit E l'espace vectoriel des suites réelles x_n telles que x_{n+2}=x_{n+1}+x_n pour tout n.
Avec les notations ci-dessus, on a P=X^2-X-1=\left(X-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\left(X-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right), donc la matrice M, qui a deux valeurs propres distinctes, est diagonalisable. On voit qu'il existe des réels \alpha et \beta tels que x_n = \alpha\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \beta\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
et la donnée de x_0 et x_1 permet de déterminer \alpha et \beta.

9. Remarques sur les matrices semblables

Soient A et B deux matrices de \cal{M}_n(K).
Si elles sont semblables, on a \chi_A=\chi_B et \mu_A=\mu_B, mais ces deux conditions ne suffisent pas en général à assurer la similitude de A et B. Ainsi, dans {\cal M}_4(K), les deux matrices
A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \: \: \text{ et } \: \: B=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
vérifient \chi_A=\chi_B=(X-1)^4 et \mu_A=\mu_B=(X-1)^2, mais elles ne sont pas semblables puisque le sous-espace propre relatif à 1 est de dimension 2 pour A et de dimension 3 pour B.

Une matrice A est diagonalisable dans \cal{M}_n(\mathbb{R}) si et seulement si A est diagonalisable dans \cal{M}_n(\mathbb{C}) et toutes ses valeurs propres sont réelles.

10. Réduction en blocs dans \cal{M}_n(\mathbb{R})

Pour tout couple (a \, , \, b) \in \mathbb{R}^2, on pose M(a,b)=\left(\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right).
Soit A \in \cal{M}_n(\mathbb{R}) une matrice diagonalisable dans \cal{M}_n(\mathbb{C}).
Il existe des entiers p et q tels que p+2q=n, et des réels \lambda_1 \, , \, \cdots \, , \, \lambda_p \, , \, a_1 \, , \, \cdots \, , \, a_q \, , \, b_1 \, , \, \cdots \, , \, b_q tels que la matrice Asoit semblable à la matrice diagonale par blocs
\left(\begin{array}{cccccc} \lambda_1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & \lambda_p& & & \\ \\ & & & M(a_1,b_1) & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & M(a_q,b_q)\end{array}\right)

Partager cet article

commentaires

  • : XibniY : BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR
  • XibniY : BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR
  • : Blog dédié à l'Histoire, à la Beauté et à l'Enseignement des Mathématiques. Contact: ioms001@yahoo.fr
  • Contact


PLAQUEIBNI.jpg

"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

PRIXIBNI.jpg
Candidature au Prix Ibni