Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog
17 septembre 2009 4 17 /09 /septembre /2009 14:18

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire , de déterminant , de valeur propre et de vecteur propre :

 Applications linéaires & matrices , notions sur les déterminants , valeurs propres

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K = R ou C (nombres réels ou complexes). On note B = (e1, e2, ..., en) et B' = (e'1, e'2, ..., e'n) deux bases de E.

Il s'agit, connaissant les coordonnées x1, x2, ..., xn d'un vecteur u relativement à B, d'exprimer ses coordonnées x'1, x'2, ..., x'n relativement à B' et inversement. Chaque vecteur e'j s'exprime de façon unique dans la base B sous la forme : e'j = a1j.e1 + a2j.e2 + ... + anj.en. On a alors :

On identifie alors cette dernière égalité à :

Ce qui fournit, selon la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne :

La matrice :

est appelée matrice de passage de B à B'.

 Cette appellation est regrettable car elle devrait exprimer le contraire puisqu'on exprime ci-dessus les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : on obtient les anciennes coordonnées xi de u dans la base B en fonction des nouvelles coordonnées x'i dans la base B'. La matrice P est inversible puisque ses colonnes représentent les vecteurs de la base B' écrits dans la base B. Avec la notation matricielle, on a donc :

u/B = Pu/B' et (en multipliant par P-1) :  u/B' = P-1u/B

Calcul pratique d'une matrice inverse :

Lorsque dim E = 2; si B = (i,j) et B' = (u,v) avec u = i + 3j et v = -2i + j, on a :

Pour un vecteur X = x.i + y.j = x'.u + y'.v, on aura :

soit, d'une part : x = x' - 2y' , y = 3x' + y' , d'autre part : x' = (x + 2y)/7 , y' = (-3x + y)/7

Matrices semblables :

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K = R ou C, notons M/B sa matrice relativement à B = (e1, e2, ..., en) et si X/B = (x1, x2, ..., xn), posons Y = f(X). En passant à la base B' = (e'1, e'2, ..., e'n), on peut écrire sous forme matricielle, en notant P la matrice de passage :

X/B = PX/B' , Y/B = PY/B' , Y = M/B X

Par suite :

PYB' = (M/B x P)X/B'

et en multipliant par P-1 :

YB' = (P-1 x M/B x P)X/B'

Ce qui montre que la matrice de f, relativement à B', est :

M/B' = P-1 x M/B x P

On dit que les matrices M/B' et M/B sont semblables. D'une façon générale, deux matrices A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que B = P-1 x A x P. On vérifiera facilement que la relation "est semblable à" est une relation d'équivalence dans l'ensemble n des matrices carrées d'ordre n.

Lorsque P est orthogonale, le calcul de P-1 s'en trouve grandement facilit� : dans ces condition P-1 = tP (transpos�e de P).

   __   __

1. E est de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

  • i/ Montrer que les valeurs propres de f sont 2 et -5 et qu'une base de vecteurs propres est B' = (u,v) avec :
      (matrice de changement de base)
  • ii/ Calculer P-1.
  • iii/ Vérifier, en calculant P-1MP, que la matrice de f, relativement à B', est effectivement comme on doit s'y attendre :
  • 4i/ Calculer D2 = D x D, D3 = D x D x D, Dn pour tout entier naturel n > 1.
  • 5i/ Calculer (P-1MP)2 , (P-1MP)3, (P-1MP)n pour tout entier naturel n > 1.
  • 5i/ Déduire des calculs précédents l'expression de Mn en fonction de 2n et de 5n.

2. On considère la matrice :

Ses colonnes s'identifient à la matrice d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel réel E de dimension 3, relativement à une base B = (i, j, k)

  • i/ Montrer que le polynôme caractéristique de M est P(l) = -(l - 1)2(l + 2).
  • ii/ Montrer que le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre double l = 1 est le plan vectoriel dont une équation est x + y - z = 0. Donner alors deux vecteurs propres linéairement indépendants u et v associés à la valeur propre l = 1.
  • iii/ Montrer que le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre l = -2 est une droite vectorielle dont on vérifiera que w = i +j - k est un vecteur directeur. Vérifier que B' = (u, v, w) est une base de E.
  • 4i/ Justifier, sans calculs, que la matrice de f relativement à B' est la matrice diagonale :
et vérifier ce résultat en appliquant la formule de changement de base M' = P-1MP où P est la matrice de passage de B à B' en calculant au préalable la matrice inverse P-1.

 on voit donc, sur cet exemple, qu'une matrice dont les valeurs propres sont multiples peut être diagonalisée

Réduction d'une forme quadratique :

Matrice diagonale :


Lorsque E est de dimension finie n, si f est un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes de vecteurs propres associés v1, v2, ..., vn , alors ceux-ci constituent une base de E et relativement à cette base (v1, v2, ..., vn), la matrice de f prend la forme diagonale :

On dit que la matrice de f a été réduite à la forme diagonale ou, plus simplement, diagonalisée.

  diagonalisation d'un endomorphisme de l'espace

 Remarquer :

det (P-1MP) = det P-1 x det M x det P = det P-1 x det P x det M = det M car det P-1 = 1/det P
  • que si une matrice M est diagonalisée, alors det M = l1 x l1 x ... x ln.

Mais qu'en est-il lorsque f possède des valeurs propres multiples ? la diagonalisation est possible dans certains cas, matrice symétrique par exemple, c'est à dire lorsque aij = aji pour tout i et j : exercice 2. Sinon, on peut chercher à obtenir seulement une matrice triangulaire, ce qui est toujours possible lorsque K = C, c'est à dire une matrice de la forme :

La matrice ci-dessus est, plus précisément triangulaire supérieure, car les éléments éventuellement non nuls sont situés au-dessus des éléments diagonaux d1, d2, ..., dn. Dans le cas contraire, on parle de matrice triangulaire inférieure.

 Ind�pendamment de tout endomorphisme, on peut manipuler une matrice en tant qu'op�rateur sur des vecteurs colonnes, Par exemple, si on écrit, relativement à une base B = (i,j) :

c'est pour signifier que M x i = 2i + j et nous écrivons que M x j = i - j ou encore :

               matrice colonne

Théorème de Jordan : lorsque K = C, toute matrice carrée peut se mettre, au moyen d'un changement de base approprié, sous la forme :

où les blocs D1, D2, ... Dn sont des matrices carrées dont les termes di,i de la diagonale principale sont égaux, les autres termes étant nuls à l'exception de di,i+1 = 1 (terme situé "à droite" d'un terme diagonal).

                         

 Si K = R, cette forme peut être obtenue pour une matrice n x n si celle-ci admet cependant n valeurs propres (non distinctes) :

   __   __

3. E est de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; relativement à B une matrice M s'écrit :

 Cette matrice est empruntée à G. Lefort dans son livre d'exercices (1964) qui illustrait avec brio le cours de MM. Pisot & Zamansky.

  • i/ Montrer que 2 est valeur propre de M; vérifier alors, par factorisation du polynôme caractéristique, que M admet 4 comme valeur propre double.
  • ii/ Montrer que B' = (u, v, k) est une base de E, u(1, 1, 1) et v(1, -1, 1) étant vecteurs propres de M respectivement associés aux valeurs propres 2 et 4.
      le sous-espace propre associé à la valeur propre double 4 n'étant pas de dimension 2, M n'est pas diagonalisable.
  • iii/ Exprimer M x k dans la base B', en déduire que :
  • iii/ On voit ci-dessus que M/B' est triangulaire supérieure. On pose w = a.u + b.v + c.k. Montrer que l'on peut trouver a, b et c afin d'obtenir, relativement à B"(u, v, w), "mieux" que la forme de Jordan..., à savoir :
Rép : w(1/3, 1/3, 0) relativement à B.

Partager cet article

commentaires

  • : XibniY : BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR
  • XibniY : BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR
  • : Blog dédié à l'Histoire, à la Beauté et à l'Enseignement des Mathématiques. Contact: ioms001@yahoo.fr
  • Contact


PLAQUEIBNI.jpg

"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

PRIXIBNI.jpg
Candidature au Prix Ibni