17 septembre 2009 4 17 /09 /septembre /2009 15:21




I. Formules de Taylor

1. Formule de Taylor avec reste intégrale

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , n \in \mathbb{R} et f : I \longrightarrow \mathbb{R}\mathfrak{C}^{n+1} sur I.
On a alors la formule suivante :
\forall (a \, , \, b) \in I^2 \: : \: f(b) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} + \displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx
C'est la formule de Taylor avec reste intégrale d'ordre n.
Le terme \displaystyle \int_a^b \frac{(b-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx est dit le reste intégrale d'ordre n.

Remarque : Formule de "Taylor - Maclaurin"
En posant b = a+ h, la formule de Taylor avec reste intégrale s'écrit :
f(a+h) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(a) \frac{h^k}{k!} + \displaystyle \int_a^{a+h} \frac{(a+h-x)^n}{n!} f^{(n+1)}(x) dx
Et en particulier, si a = 0 \text{ et } h = x, on obtient ce qu'on appelle la formule de Taylor-Maclaurin :
f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{x^k}{k!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) dt

Exemples : Pour a = 0 :
    * e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \displaystyle \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} e^t dt
    * \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + (-1)^{n+1} \displaystyle \int_0^n \frac{(x-t)^{2n+1}}{(2n+1)!} \sin(t) dt


une fonction de classe

2. Inégalité de Taylor - Lagrange

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} \text{ et } f : I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction de classe \mathfrak{C}^{n+1} sur I, alors :
\forall (a \, , \, b) \in I^2 \: : \: \|f(b) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(a) \frac{(b-a)^k}{k!} \| \leq M \frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!} avec : M = sup\|f^{(n+1)}(x)\| \, , \, x \in [a \, , \, b]
C'est l'inégalité de Taylor-Lagrange.


3. Formule de Taylor - Young

Soit I un intervalle de \mathbb{R} \, , \, n \in \mathbb{N} et f : I \longrightarrow \mathbb{R} une fonction n fois dérivable au point a.
Alors : \displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \: \frac{1}{(x-a)^n}\left[f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\right] = 0
Et on note : f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = o_{a}((x-a)^n)
C'est la formule de Taylor - Young.

Exemples :
    * \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)
    * \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}).


II. Développements limités

1. Généralités

Définition i) :
Soit I un intervalle de \mathbb{R} contenant 0, n \in \mathbb{N} et f : I \longrightarrow \mathbb{R}.
On dit que f admet un développement limité d'ordre n au point x_0 = 0 lorsqu'il existe (a_0, \cdots , a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} tel que pour x \in I :
f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k x^k + x^n \epsilon(x)   avec   \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon (x) = 0
et on note : f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)
Cette expression s'appelle le développement limité d'ordre n de f au point 0.
Définition ii) :
Soit I un intervalle contenant x_0 \in \mathbb{R} et f : I \rightarrow \mathbb{R} .
On dit que f admet un développement limité au point x_0 si la fonction g définie par : g(x) = f(x + x_0) admet un développement limité au point 0.
c'est-à-dire : f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)

Remarque :
Toute l'étude suivante concerne les développements limités au point 0 mais se généralise aisément d'après la définition ii) précédente aux développements limités au point x_0 \in I quelconque.

Vocabulaire :
Avec les hypothèses et les résultats de la définition i) :
      * La partie \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k est appelée la partie régulière du développement limité.
      * La partie f(x) - \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k est appelée la partie complémentaire du developpement limité.

Notation :
L'ensemble des fonctions admettant un developpement limité à l'ordre n en un point x_0 est noté DL_n(x_0).
Proposition :

Si f \in DL_n(0) alors \forall p \leq n \: : \: f \in DL_p(0)
C'est-à-dire :
Si f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n) alors : \forall p \leq n \: : \: f(x) = \displaystyle \sum_{k=0}^p a_k x^k + o(x^p).



2. Opérations sur les developpements limités

* Linéarité :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) respectivement de parties régulières A \, , \, B et \lambda \in \mathbb{R}
Alors f + \lambda g \in DL_n(0) de partie regulière A + \lambda B.

* Produit :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) respectivement de parties régulières A \, , \, B.
Alors f \times g \in DL_n(0) de partie regulière obtenue à partir de A \times B en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à n (c'est-à-dire tronqué à l'ordre n).

* Composition :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \, , \, g \in DL_n(0) avec f(0) = 0 respectivement de parties régulières A \, , \, B.
Alors g \circ f \in DL_n(0) dont la partie régulière est B \circ A tronqué à l'ordre n.

* Inverse :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f \in DL_n(0) tel que f(0) \not = 0.
Alors \frac{1}{f} \in DL_n(0).

* Primitive :
Soit n \in \mathbb{N} \, , \, f : I \longrightarrow \mathbb{R} continue avec f \in DL_n(0) de partie régulière \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k x^k.
Alors si F est une primitive de f alors F \in DL_{n+1}(0) avec :
F(x) = F(0) + \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k \frac{x^{k+1}}{k+1} + o(x^{n+1}).


3. Formule de quelque developpements limités usuels en 0

\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \\ \bullet \ln(1+x) = x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n+1} \displaystyle \frac{x^n}{n} + o(x^n)
\bullet \ln(1-x) = -x - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots - \displaystyle \frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ \bullet e^x = 1 + x + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \cdots + \displaystyle \frac{x^n}{n!} + o (x^n) \\ \bullet \sin(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1})
\bullet \cos(x) = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n}) \\ \bullet \text{sh}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3!} + \cdots + \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o (x^{2n+1}) \\ \bullet \text{ch}(x) = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2!} + \cdots + \displaystyle \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o (x^{2n})
\bullet \displaystyle \frac{1}{1-x^2} = 1 +x^2+x^4 + \cdots + x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{1+x^2} = 1 -x^2+x^4 + \cdots +(-1)^n x^{2n} + o(x^{2n}) \\ \bullet \text{Arctan}(x) = x - \displaystyle \frac{x^3}{3} + \cdots + (-1)^n \displaystyle \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + o (x^{2n+1})
\bullet (1+x)^a = 1+ax + \displaystyle \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots + \frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \text{ avec } a \in \mathbb{R} \\ \bullet \sqrt{1+x} = 1 + \displaystyle \frac{x}{2} - \displaystyle \frac{x^2}{8} + \displaystyle \frac{x^3}{16} + o(x^3) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \displaystyle \frac{x}{2} + \displaystyle \frac{3x^2}{8} - \displaystyle \frac{5x^3}{16} + o(x^3)
\bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} = 1 - \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4) \\ \bullet \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1 + \displaystyle \frac{x^2}{2} + \displaystyle \frac{3x^4}{8} + o(x^4)
\bullet \text{Arcsin}(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{6} + \displaystyle \frac{3x^5}{40}+ o(x^5) \\ \bullet \tan(x) = x + \displaystyle \frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15} + o(x^5)

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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