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17 septembre 2009 4 17 /09 /septembre /2009 14:28

1) EDP et Imagerie

On introduira tout d'abord différentes méthodes utilisées de manière classique en segmentation d'images:

  • Les modèles déformables;
  • Les contours actifs géodésiques;
  • La méthode "Level set" + équation d'Hamilton-Jacobi;
  • La méthode "Fast Marching".

 

2) Solutions de Viscosité

La notion de viscosité a été introduite dans les années 80 par Crandall et P.L. Lions [voir aussi Crandall, Ishii et Lions 45]. Cette théorie est née de la nécessité de résoudre des problèmes posés par les équations de Hamilton- Jacobi (pour plus de détails sur la théorie et la discrétisation des équations d’Hamilton-Jacobi, voir Barles [14], Abgrall [1], Augoula et Abgrall [10], Bardi et Capuzzo-Dolcetta [12], Lions [71], Sethian [96]). Très vite, la notion de “solutions de viscosité ” est apparue comme une notion de solutions faibles bien adaptée pour les équations elliptiques non-linéaires, éventuellement dégénérées du second ordre. Rappelons dans ce qui suit, le cadre général de la théorie de la viscosité. Cette partie est largement imprégnée du User’s guide to viscosity solutions de Crandall, Ishii et Lions [45] et du cours de Barles [15]. La théorie de la viscosité s’applique à des équations aux dérivées partielles qui peuvent s’exprimer sous la forme:
F(x,u,Du,$D^2$u) = 0 dans O, ouvert de $R^n$,
où F est une fonction définie sur O ×R×$R^n$×S(n) ! R, Du étant le gradient de u, $D^2$u la matrice Hessienne et S(n) désignant l’ensemble des matrices symétriques muni de la relation d’ordre usuelle.
Le premier avantage de cette théorie est qu’elle autorise des fonctions simplement continues à être solutions d’équations fortement non-linéaires du second ordre. Cette théorie fournit également des théorèmes d’existence et d’unicité avec prise en compte des conditions aux limites. La caractéristique fondamentale de F est de satisfaire la condition de monotonie:
F(x,r,p,X) < ou = F(x,s,p,Y ), r < ou =s, Y < ou =X,
avec r,s 2 R, x,p 2 Rn, X,Y 2 S(n) muni de la relation d’ordre usuelle.

Bibliographie (ici)

Théorie (liens):

Cours de Guy Barles >>> (organisé par J.M. Roquejoffre à l'Université Paul Sabatier Toulouse III).

Cours de J. Droniou et C. Imbert >>>

Cours de P. Cardialaguet >>>

Cours d'O. Alvarez à l'Université de Rouen (me consulter).

3) Applications

Applications en imagerie (segmentation d'images):

Partie III de la thèse de doctorat de Carole Le Guyader >>>
Article C. Gout-C. Le Guyader-L. Vese >>>

Articles de recherche >>>

Vous trouverez ICI une série d'articles de recherche (qui sera actualisée de temps en temps). Les articles sont classés suivant la méthode utilisée (Snakes-LSM-FMM). En choisir un, puis le décortiquer avec rigueur. Un rapport sera à remettre, et une présentation 15' + 5' (question) sera organisée en classe.


DOCUMENTS du COURS (2005/2006)

Semaine 11 (08/02) Salle Hum 01 - Examen final (8h-11h)

Semaine 10(01/02) Présentation des travaux sur les publis (salle Hum 01)

Semaine 09(25/01) Solutions de Viscosité

Semaine 08(11/01) Solutions de Viscosité

Semaine 07(04/01) TD-Travail sur publications

Semaine 06 (14/12) TD-Travail sur publications

Semaine 05 (07/12) <méthode Level Set> <méthode fast marching> Docs distribués en cours

Semaine 04 (30/11) <modèles déformables 1> <modèles déformables 2> Docs distribués en cours

Semaine 02 (16/11) <slides minimisation splines> - <slides applications Dm-Splines>

Semaine 01 (09/11) <rappels & notations Chap01-TheseCarole> <slides introduction imagerie>

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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