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17 septembre 2009 4 17 /09 /septembre /2009 14:42
L'observation du mouvement aléatoire d'une particule en suspension dans un fluide a
permis la première mesure précise de la masse de l'atome. Aujourd'hui le mouvement
brownien sert de modèle mathématique pour les processus aléatoires.

 

 

 

Il arrive parfois qu'une goutte d'eau soit emprisonnée dans un morceau de lave lors du refroidissement de celle-ci. Au début du 19eme siècle, le botaniste écossais Robert Borin découvrit une telle goutte dans un morceau de quartz; cette goutte d'eau était restée intacte pendant des millions d'années et aucune spore ni aucun pollen portés par le vent et la pluie n'avaient pu la contaminer. Il examina la goutte d'eau à l'aide d'un microscope: suspendues dans l'eau, un grand nombre de particules minuscules étaient animées d'un mouvement irrégulier et incessant. Le mouvement était familier à Borin : il l'avait déjà observé pour des grains de pollen en suspension dans l'eau. Cette nouvelle expérience rendait caduque son explication antérieure du phénomène, à savoir que « la vitalité est conservée [par les « molécules » d'une plante] longtemps après la mort de la plante et que ces molécules « vivaient » puisqu'elles bougeaient ». Borin conclut alors, à juste titre, que l'agitation des particules emprisonnées à l'intérieur du quartz devait être un phénomène plus physique que biologique, mais il n'alla pas plus loin dans son raisonnement.

L'explication correcte du mouvement brownien est maintenant bien connue : un grain de pollen ou de poussière suspendu dans un fluide est soumis à un bombardement incessant par les molécules qui constituent le fluide. La quantité de mouvement d'une molécule isolée n'est jamais suffisamment importante pour que son effet sur la particule suspendue soit visible au microscope.

 

Cependant, si un plus grand nombre de molécules frappent en même temps la particule d'un côté, elles peuvent déplacer celle-ci de façon notable.

Par conséquent, le mouvement brownien est un double phénomène aléatoire : le trajet de la particule suspendue est rendu aléatoire par les fluctuations aléatoires des vitesses des molécules voisines. De plus, comme le microscope constitue un filtre qui ne visualise que les effets des fluctuations relativement importantes de l'environnement moléculaire local, le mouvement observé ne permet que d'entrevoir la complexité du vrai trajet. Si le pouvoir de résolution du microscope pouvait être augmenté d'un facteur dix, cent ou mille, les effets, dus aux bombardements par des groupes de molécules de plus en plus petites, seraient détectés. À chaque agrandissement, les parties de la trajectoire de la particule qui semblent rectilignes apparaîtraient irrégulières et erratiques.

 

 

1. MOUVEMENT BROWNIEN d'une particule microscopique en suspension dans l'eau (figure du haut). Ce mouvement d'une particule a été dessiné d'après observation par le physicien Jean Perrin, en 1912: les points anguleux de la ligne brisée représentent les positions de la particule toutes les 30 secondes; J. Perrin a noté que de tels graphiques « ne donnent qu'un faible aperçu de l'extraordinaire discontinuité de la trajectoire réelle ». Si l'on agrandit une petite partie de la trajectoire et que la position de la particule est repérée 100 fois plus souvent, on retrouve, à une autre échelle, la complexité de la trajectoire originale (figure du bas). Le diagramme du bas est une simulation sur ordinateur faite par l'auteur.

Le trajet d'une particule animée d'un mouvement brownien est l'un des premiers phénomènes naturels dont la caractéristique est d'être semblable à lui-même à chaque agrandissement. Benoît Mandelbrot a qualifié de « fractals » les objets géométriques dont la propriété remarquable est qu'une partie, magnifiée, est géométriquement semblable au tout.

 

Phénomènes probabilistes:

Dès le début du siècle, l'étude du mouvement brownien a des prolongements féconds en physique, en chimie et en mathématiques. Albert Einstein l'utilise comme méthode d'observation pour confirmer l'existence des atomes et des molécules. De plus, Einstein montre que la mesure de certaines propriétés de particules en mouvement brownien permet de déterminer plusieurs constantes physiques importantes telles que les masses des atomes et des molécules et la valeur du nombre d'Avogadro. Le nombre d'Avogadro, égal à 6 *10 exposant 23 est le nombre de molécules élémentaires dans une mole d'un corps (la mole est une unité chimique standard pour toute substance). L'étude du mouvement brownien a également affiné notre compréhension théorique des principes de la thermodynamique, principes qui avaient été formulés sur la base de généralisations empiriques trop sommaires.

Plus récemment, l'étude du mouvement brownien a donné naissance à des techniques mathématiques importantes pour l'étude générale des processus aléatoires. Ces techniques ont été appliquées au contrôle du « bruit » électromagnétique; elles ont amélioré notre compréhension de la dynamique des amas stellaires, de l'évolution de systèmes écologiques et des fluctuations boursières.

Paradoxalement, le mouvement brownien ne suscita, au xix' siècle, qu'un intérêt médiocre. Les scientifiques de l'époque pensaient que ce phénomène était dû à des courants thermiques locaux induits par des petites différences de température dans le fluide. Or, si tel était le cas, des particules voisines seraient entraînées par le même courant local et elles se déplaceraient toutes dans la même direction; cette supposition était en complet désaccord avec l'observation sous microscope. Au contraire les mouvements des particules en suspension sont indépendants les uns des autres, même quand les particules sont séparées par une distance inférieure à leur propre diamètre.

Au début du siècle, plusieurs résultats expérimentaux pointaient en faveur d'une origine moléculaire du mouvement brownien. Par exemple, on savait que plus la taille de la particule était petite, plus rapide était son mouvement brownien. Une élévation de la température du liquide augmentait l'agitation « brownienne » des particules. Les effets étaient conformes à la théorie cinétique des gaz, développée par James Clerk Mawxell et Ludwig Boltzmann vers 1870. Cependant, ce n'est qu'en 1905 qu'Einstein formula de façon quantitative et précise la théorie cinétique du mouvement brownien.

 

La théorie cinétique

La théorie cinétique des gaz permit, pour la première fois, d'expliquer les propriétés macroscopiques d'un gaz sur la base du mouvement des atomes; depuis le xvii' siècle, à la suite des travaux de Boyle et Mariotte, on sait que la pression dans un gaz est inversement proportionnelle à son volume : quand le volume d'un gaz diminue, à température constante, la pression augmente proportionnellement à la diminution de son volume; inversement, quand le volume augmente, la pression diminue. Selon la théorie cinétique, la pression sur les parois d'un récipient contenant un volume de gaz résulte du bombardement constant des particules sur ces parois. La pression augmente lorsque le volume diminue parce que le taux de bombardement des particules est plus important pour un petit volume que pour un grand.

 

 

2. LA DIFFUSION DE PARTICULES BROWNIENNES (en couleur) à travers un liquide ou un gaz transparent est représentée à diff érents temps. Les particules commencent à diffuser à partir d'une membrane perméable insérée au milieu du récipient. La courbe en cloche dans chaque boîte représente la densité relative des particules le long de l'axe horizontal de la boîte. L'écart quadratique moyen, ou déplacement le plus probable, d'une particule après un intervalle de temps donné, est proportionnel à la racine carrée du temps écoulé. La courbe en cloche en bas de la figure montre comment l'écart quadratique moyen est relié à la probabilité pour qu'une particule occupe une région donnée de la boîte après un certain temps. Si l'écart quadratique moyen après trois secondes est égal à racine de3 centimètres, la probabilité de trouver une particule à moins de racine de 3 Centimètres de la membrane centrale est égale à la surface normalisée de la région colorée sous la courbe, environ 68 pour cent. La probabilité de trouver une particule plus loin que 2 racine de3 centimètres de la membrane centrale est égale à la surface des deux régions en gris, qui représente moins de cinq pour cent de la surface totale de la courbe.

De même, il existe une relation directe entre la pression et la température. Quand la température d'un gaz augmente à volume constant, la pression augmente proportionnellement; quand la température diminue, la pression diminue également. La température correspond, dans la théorie cinétique, à la valeur de l'énergie cinétique moyenne des particules. Toute élévation de température augmente l'énergie moyenne de bombardement et, par conséquent, la pression du gaz sur les parois.

Pour un gaz dit « parfait », ces deux relations sont résumées en une loi simple. Cette loi énonce que, pour une mole de gaz, le produit de la pression par le volume du gaz divisé par sa température absolue est égal à une constante. Cette constante, appelée constante universelle du gaz et désignée par la lettre R, est égale à 1,99 calorie par mole et par degré Celsius.

La percée conceptuelle majeure de la théorie cinétique consista à abandonner toute tentative de description du mouvement des particules individuelles et à y substituer une approche statistique du mouvement qui tire avantage du grand nombre de particules en présence : plus ce nombre est grand, plus les écarts relatifs par rapport à la configuration moyenne sont faibles. C'est pourquoi la théorie cinétique est souvent appelée mécanique statistique.

Avec le recul du temps, il paraît évident qu'une particule de poussière ou un grain de pollen, inséré dans l'environnement atomique d'un gaz ou d'un liquide, doit être animé d'un mouvement brownien, mais, pour apprécier la contribution d'Einstein, il faut se rappeler que l'on n'accordait, il y a 80 ans, qu'un statut provisoire à la réalité physique des atomes et des molécules. Le physicien allemand Wilhelm Ostwald considérait l'atome comme un « concept hypothétique qui permet une description très pratique » de la matière. Ernst Mach affirmait que toutes entités théoriques, comme les atomes et les molécules, n'étaient que des fictions commodes.

Einstein est plus réaliste. En 1905, il écrit que le but primordial des recherches en théorie atomique est de découvrir des faits qui confirment l'existence d'atomes de taille définie. Dans cette optique, écrit Einstein, « Je découvris que, d'après la théorie atomique (c'est-à-dire la théorie cinétique), des particules en suspension devaient être animées d'un mouvement et que ce mouvement devait être observable. À cette époque, j'ignorais qu'on avait observé un tel mouvement depuis fort longtemps ». Ainsi Einstein prédit, avant tout le monde, que le mouvement de particules en suspension dans un fluide devait révéler l'existence des atomes. Einstein ne connaissait pas les observations de Brown, mais il démontra que la détection de telles particules confirmerait la théorie cinétique : la conclusion surprenante de son travail fut une équation qui permettait de mesurer précisément la masse de l'atome.

 

La diffusion:

La théorie atomique du mouvement brownien établie par Einstein comporte deux parties. La première, de nature mathématique, établit une équation de la diffusion d'une particule brownienne en suspension dans un milieu fluide. La seconde partie, plus physique, relie la vitesse mesurable de la diffusion de la particule à d'autres quantités physiques, telles que le nombre d'Avogadro et la constante des gaz parfaits.

Pour exprimer la diffusion d'une particule avec le langage mathématique de la mécanique classique, il faut connaître deux quantités : la vitesse initiale de la particule, la grandeur et la direction des impulsions que la particule reçoit en un temps donné. La particule brownienne subit environ 1011 collisions par seconde et toute influence de sa vitesse initiale sur son comportement ultérieur est effacée, en un temps extrêmement court, par les collisions moléculaires. D'autre part, le nombre immense de particules fait qu'il est exclu de vouloir décrire les impulsions individuellement. Einstein abandonna l'idée d'une description mécanique de la diffusion d'une particule brownienne et choisit une approche probabiliste.

Pour obtenir le résultat d'Einstein, il est utile d'imaginer un petit volume, de forme arbitraire, entourant un espace où les particules peuvent diffuser. Le nombre de particules à l'intérieur de ce volume change en fonction du temps : ce nombre est augmenté par le flux de particules qui pénètrent dans l'élément de volume, et diminué par le flux de particules qui en sortent. Le flux de particules entre deux points d'un fluide varie proportionnellement à la différence des concentrations des particules entre ces deux points. Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de diffusion D, et sa valeur doit être déterminée expérimentalement. La relation entre le flux et la variation de la concentration est connue sous le nom de loi de Fick, baptisée ainsi en l'honneur du physicien Adolphe Fick.

La formulation mathématique de cet état des choses conduit à une équation différentielle appelée équation de diffusion. Cette équation est résoluble si la position initiale de la substance qui diffuse est spécifiée ainsi que les limites de l�espace accesible à la substance. La solution est une expression mathématique qui donne la concentration de la substance diffusante en chaque point de l�espace et à chaque instant. Si la substance est diffusante est initialement concentrée sur la surface d�une membrane perméable qui sépare un récipient en deux moitié, la solution de l�équation de diffusion est une famille de courbe en cloche. Le centre de chaque famille coïncide avec la membrane et, au cours du temps, la courbe s�élargit et s�aplatit.

 

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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