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9 mars 2012 5 09 /03 /mars /2012 12:14

 

Les Algèbres

 

En mathématiques, une algèbre de Boole, ou parfois anneau de Boole, est une structure algébrique étudiée en particulier en logique mathématique. Une algèbre de Boole peut être définie soit comme une structure ordonnée particulière — c'est un treillis avec plus grand et plus petit élément, dont les opérations de borne inférieure et de borne supérieure, sont chacune distributives par rapport à l'autre, et dont tout élément possède un complément, soit comme un anneau (unitaire) dont tout élément égale son carré.

Pour tout ensemble, l'ensemble de ses parties est une algèbre de Boole, l'ordre associé étant l'inclusion et les lois d'anneau la différence symétrique et l'intersection. Un autre exemple est donné par l'ensemble des formules du calcul propositionnel prises à équivalence (en logique classique) près (sur un nombre de variables de cardinal arbitraire), l'ordre associé est la relation de conséquence logique, les lois d'anneau la disjonction exclusive et la conjonction.

 

Algèbre de Boole comme anneau

De façon équivalente4, une algèbre de Boole peut également être définie comme un anneau de Boole, c'est-à-dire un anneau dans lequel tout élément est idempotent. La structure (E, +, •, 0, 1) est donc un anneau de Boole si elle vérifie les identités :

(a+b)+c = a+(b+c)

(associativité +)

a+b = b+a

(commutativité +)

0 + a = a

(élément neutre +)

Tout élément a possède un opposé, noté −a :

(-a)+a = 0

(opposé)

(ab)•c = a•(bc)

(associativité •)

1 • a = a

(élément neutre •)

a•(b+c) = ab+ac

(distributivité à gauche)

(b+c)•a = ba+ca

(distributivité à droite)

aa = a

(idempotence)

On déduit de l'idempotence du produit, en calculant de deux façons (a + a)2 (distributivités) et en simplifiant, que chaque élément est son propre opposé, c'est-à-dire qu'un anneau de Boole est de caractéristique 2 :

 

a+a = 0

(un élément est son propre opposé)

On déduit toujours de l'idempotence, en calculant de deux façons (a + b)2, que ab + ba = 0, et donc la commutativité de la multiplication, d'après la propriété précédente :

ab = ba

(commutativité •)

Les lois d'anneau diffèrent des lois d'algèbre de Boole du paragraphe précédent, en particulier seul la multiplication est distributive sur l'addition.

À partir d'une algèbre de Boole (E, ∧,∨, 0, 1), on obtient bien un anneau de Boole en posant5

§     ab = a ∧ b

§     a + b = (a ∧ b’ ) ∨ (a’ ∧ b)

les constantes 0 et 1 sont conservées. La vérification des identités d'anneau se fait directement, en utilisant les identités d'algèbre de Boole du paragraphe précédent.

Réciproquement, à partir d'un anneau de Boole (E, +, •, 0, 1) on obtient une algèbre de Boole en posant :

§     a ∧ b = ab

§     a’ = 1 + a

et en vérifiant que les éléments neutres 0 et 1 sont bien les plus petit et plus grand éléments, que a ∧ b = ab et :

§     a ∨ b = a + b + ab

En particulier dans un anneau de Boole on retrouve la structure ordonnée par :

§     a ≤ b   si et seulement si   a = ab

Là aussi les vérifications des identités d'algèbre se fait simplement, en utilisant les identités d'anneau de Boole (commutativité et caractéristique 2 comprises).

Dans la suite on appelle algèbre ou anneau de Boole l'une comme l'autre structure.

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commentaires

IDRISSA 15/03/2012 00:02


MATHEMATIQUES:Amadou Tall soutient un doctorat d'Etat en crytographie



 



29-09-2011



Amadou Tall reste sur sa lignée de bons résultats depuis sa première inscription au département de Mathématiques de la faculté de sciences et techniques de l' Ucad. Le lauréat du Prix Ibni
a soutenu une thése sanctionnée par  la mention très honorable avec félicitation du jury 




Le lauréat du Prix Ibni 2010, Amadou Tall, ne pouvait faire moins. Il a présenté une thése de doctorat d'Etat sur:'Les chaines d'additions-soustractions et leur utilisation en
cryptographie sur les courbes elliptiques'


Il a décroché la mention très honorable avec félicitation du jury.Les professeurs n'étaient pas surpris par ce résultat.Depuis sa première année jusqu'en Master, Amadou Tall faisait
toujours partie des meilleurs de sa classe. Il est le premier étudiant de la faculté à soutenir en moins de 2 ans, une thése de doctorat. "Cest pour la première fois  que la faculté a
eu un étudiant qui a présenté sa thése en moins de 2 ans. il a fait un an et demi. Il avait terminé depuis février  et a apporté des idées nouvelles aux questions sans solutions
depuis 1992", soutient son encadreur le Pr Djibril Sow. La cryptographie sur laquelle a travaillé M. Tall est un axe de la science de plus en plus sollicitée pour plusieurs utilisations ,
notamment pour la sécurisation des données." La cryptographie ( science du secret) a pour rôle d'assurer la sécurité des communications et des données (partagées ou stockées) en présence
d'un adversaire. Elle doit garantir la confidentialité, l'intégrité, l'authentification et la non-répudiation. La cryptographie a été pendant longtemps, réservée au domaine militaire.


Depuis quelques décennies le monde civil s'est invité dans ce domaine, avec le développement rapide d'Internet et des moyens de communication numériques" avance le candidat. Le Pr Oumar
Diankha a tout de même regretté l'absence de démonstrations des théorèmes."Lorsque vous utilisez des théorèmes, il faut faire la démonstration ou bien il faudra donner des références",
dit-il.Cette critique comme celle des autres professeurs, n'enlèvent en rien la validité de la thése de 110 pages co-dirigée par le Pr Maurice Mignotte de l'université Louis Pasteur de
Strasbourg, en France.


Les professeurs voient à travers ce travail," les germes de la reléve"de l'enseignement des mathématiques de l'Ucad."Lorsque nous ouvrions l'école doctorale de Mathématiques, ce n'était pas
uniquement pour nous de venir enseigner les mathématiques.C'était pour former des mathématiciens africains et sénégalais.Aujour'hui nous sommes rassurés.La reléve est assurée. Nous avons
produit des étudiants qui nous honorent à l'étranger",se félicite le Pr agrégé de mathématiques , le Pr Mamadou Sankharé. Le Centre international de mathématiques pures et appliquées
avait décerné le Prix Ibni à Amadou Tall pour "la qualité et l'originalité "de son travail.


Le candidat a déja publié deux articles dans les revues scientifiques de renommée internationale, sans compter ceux qui sont en instance de publication. Il a aussi  démontré aux
jeunes qu'ils n'ont pas besoin d'être en Europe ou aux Etats-unis pour présenter un bon travail en un temps aussi court. Ibni Mohamat Saleh est ce brillant mathématicien tchadien engagé
politiquement dont les condiions de disparition restent encore floues et mystérieuses au Tchad.


                                                                                    
Idrissa Sané-Soleil



  • : XibniY : BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR
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  • : Blog dédié à l'Histoire, à la Beauté et à l'Enseignement des Mathématiques. Contact: ioms001@yahoo.fr
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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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Candidature au Prix Ibni