Cône de révolution sur "xibniy" - ibni

Le cône de révolution :        

Un cône est la réunion des droites (génératrices), passant par un point donné S (sommet) et une courbe (c) appelée directrice.

Le cas du cône de révolution ou cône circulaire droit correspond à celui où (c) est un cercle de centre O, (OS) appelé axe du cône, étant perpendiculaire au plan du cercle. (c) n'est pas unique : tout cercle centré sur (OS) dont un rayon aboutit sur une génératrice engendrera le même cône.  C'est dire que ce dernier peut être caractérisé par l'angle a (demi-angle au sommet) entre son axe et une de ses génératrices.

Si M(x,y,z) est un point du cône, alors m(kx,ky,kz), k non nul, est aussi un point du cône. Une équation cartésienne d'un cône du type f(x,y,z) = 0 est donc homogène (de degré 2).

L'exemple ci-dessous correspond (sensiblement) à a = 40°. Tout point situé à la même cote z décrit un cercle (c). Un petit calcul de trigonométrie élémentaire fournit z² = (x² + y²)cotan²a, soit :

 x² + y² - z²tan²a = 0

Montrer que x² = yz est l'équation d'un cône de sommet O dont la courbe directrice est la parabole
y = x² dans le plan z = 1.

Ci-dessous est représenté un cône de révolution limité par sa "base", cercle de rayon 1, et sa  "hauteur" égale à 3.
Vérifier qu'une équation paramétrique en est :
x = (1 - v/3)cos u , y = (1 - v/3)sin u , z = v, u variant de 0 à 2p et v de 0 à 3
utiliser que pour chaque cote z = v, le rayon r de révolution vérifie ici r/1 = (3 - z)/3.