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28 novembre 2013 4 28 /11 /novembre /2013 12:53

 

Le cône de révolution :        

Un cône est la réunion des droites (génératrices), passant par un point donné S (sommet) et une courbe (c) appelée directrice.

Le cas du cône de révolution ou cône circulaire droit correspond à celui où (c) est un cercle de centre O, (OS) appelé axe du cône, étant perpendiculaire au plan du cercle. (c) n'est pas unique : tout cercle centré sur (OS) dont un rayon aboutit sur une génératrice engendrera le même cône.  C'est dire que ce dernier peut être caractérisé par l'angle a (demi-angle au sommet) entre son axe et une de ses génératrices.

Si M(x,y,z) est un point du cône, alors m(kx,ky,kz), k non nul, est aussi un point du cône. Une équation cartésienne d'un cône du type f(x,y,z) = 0 est donc homogène (de degré 2).

L'exemple ci-dessous correspond (sensiblement) à a = 40°. Tout point situé à la même cote z décrit un cercle (c). Un petit calcul de trigonométrie élémentaire fournit z2 = (x2 + y2)cotan2a, soit :

 x2 + y2 - z2tan2a = 0


Montrer que x2 = yz est l'équation d'un cône de sommet O dont la courbe directrice est la parabole
y = x2 dans le plan z = 1.


Ci-dessous est représenté un cône de révolution limité par sa "base", cercle de rayon 1, et sa  "hauteur" égale à 3.
Vérifier qu'une équation paramétrique en est :
x = (1 - v/3)cos u , y = (1 - v/3)sin u , z = v, u variant de 0 à 2p et v de 0 à 3
utiliser que pour chaque cote z = v, le rayon r de révolution vérifie ici r/1 = (3 - z)/3.

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MS XibniY : LE BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR - dans OEIL SUR LES MATHEMATIQUES
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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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