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13 octobre 2009 2 13 /10 /octobre /2009 20:26

Les courbes elliptiques sont des objets fascinants à la frontiere entre la géométrie et l'arithmétique. Leur principale caractéristique est d'etre munie d'une structure de groupe abélien. La recherche de points rationnels sur les Courbes alg ébriques (dénies par des polynômes) est profondément liée à la résolution

D'équations diophantienne (pour ne pas dire que c'est la même chose !). Droites

et coniques, bref ce qu'on a expliqué à la section précédente, sont les objets qui résolvent les équations diophantiennes de degré au plus 2 (i.e. : la recherche de solutions entières à une équation polynomiale à coe-cients entiers de degré au plus 2). L'équation diophantienne la plus simple à considérer, hors celles dont

on vient de parler, est la suivante :

 

y2 = x3 + c : degré 2 en y et 3 en x. La courbe associée, qui est de la famille y2 = ax3 + bx + c est une courbe elliptique.

Ce sont probablement les courbes algébriques les plus simples, mis à part les coniques bien sûr. On sait beaucoup de choses sur les courbes elliptiques, mais malheureusement pas su-samment. Les courbes elliptiques sont issues de l'étude des intégrales des fonctions elliptiques sur

 

C (fonctions méromorphes

doublement périodiques). Il s'avère qu'elles ont de multiples applications en théorie des nombres et en cryptographie. Elles ont par exemple été utilisées pour factoriser et tester la primalité des entiers. Leur intérêt en cryptographie réside principalement dans la loi de groupe sur l'ensemble des points. Dans ce groupe, le logarithme discret ne se calcule actuellement qu'en temps exponentiel.

 insi pour une sécurité équivalente, l'utilisation des courbes elliptiques conduit à des tailles de clé bien inférieures, de l'ordre de 256 bits au lieu de 1024 pour le RSA par exemple, et par voie de conséquence, à des calculs plus rapides.

L'existence des accouplements sur les courbes elliptiques a permis l'élaboration de nouveaux services cryptographiques comme par exemple le chirement avec l'identité, et plus généralement, tous les développements récents de la cryptographie bilinéaire. Cette introduction présente les notions et les algorithmes nécessaires à la compréhension et la réalisation effective des systèmes cryptographiques

qui reposent sur les courbes elliptiques. Elle contient toutes les démonstrations des résultats utilisés et ne suppose qu'une connaissance élémentaire des structures algébriques : groupe, anneau, corps, structure quotient. Elle  présente, au travers d'applications très concrète, des résultats fondamentaux et essentiels de l'algèbre commutative et de la géométrie algébrique. La recherche de points rationnels, sur des courbes très importantes en théorie des nombres (et ailleurs) les courbes elliptiques. Je vais dans un premier temps m'intéresser à la recherche de points rationnels dans les cas les plus simples (droites, coniques),

puis J'introduirai les courbes elliptiques de manière naïve, et enn j'aborderai quelques questions ouvertes dans ces domaines. Les courbes elliptiques peuvent apparaître de façon cachée dans certains grand théorèmes de géométrie. En particulier, le grand théorème de Poncelet nest rien dautre quune conséquence

de la structure de groupe abélien dune courbe elliptique.


                                         Cryptographie avec un groupe


En guise d'introduction, sont présentés dans ce paragraphe des services cryptographiques qui peuvent être dénis en utilisant uniquement un groupe cyclique ni quelconque. Une réalisation eective d'un tel groupe peut reposer avantageusement sur le groupe des points d'une courbe elliptique. En cryptographie, les courbes elliptiques, des objets mathématiques, peuvent être utilis ées pour des opérations asymétriques comme des échanges de clés sur un canal non-sécurisé ou un chirement asymétrique, on parle alors de cryptographie sur les courbes elliptiques ou ECC (de l'acronyme anglais Elliptic curve cryptography). L'usage des courbes elliptiques en cryptographie a été suggéré, de manière indépendante, par Neal Koblitz et Victor Miller en 1985.



                                 Courbes rectifiées par les intégrales de 1ère espèce


Legendre remarque des égalités qui marchent mais ce n'est pas une courbe alg ébrique.Il trouve aussi une solution du 6e degré (mais à terme algébrique près) L'image par la fonction elliptique

 

2 de deux axes perpendiculaires donne deux ovales orthogonales : les ovales représentent la fonction 2

.



                                                  Courbes de Serret


Chronologiquement : En 1843 Serret exprime lintégrale de 1ère espèce comme somme d'arcs d'ovales de Cassini; en 1845: Serret trouve une innité de courbes algébriques solutions du problème de Legendre : Serret les appelle "courbes elliptiques" puis en 1846 : Théorie géométrique de la lemniscate et des courbes elliptiques de la première espèce.

 


                          Courbes Elliptiques sous différents aspects


Le but de ce cours est de donner un panorama sur les courbes elliptiques. Apres avoir présente l'approche analytique complexe, qui historiquement a motive une grande partie de la théorie, on étudiera les aspects géométriques et arithmétiques des courbes elliptiques. On démontrera notamment le théorème de Mordell-Weil sur le groupe des points rationnels. En n, on donnera la dénition de 

la fonction L associee a une courbe elliptique et on énoncera la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Quelques connaissances de géométrie algébrique et de corps locaux peuvent être utiles pour suivre ce cours.De nos jours, l'utilisation des méthodes très puissantes de la géométrie algébrique contribue à faire de la théorie des nombres une des branches les plus vivantes et les plus attractives des mathématiques.

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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