Géométrie diff: L'indicatrice de Dupin. - ibni

Indicatrice de Dupin         géométrie différentielle               

L'indicatrice de Dupin précise la nature locale (au voisinage d'un point) d'une surface z = f(x,y) : parabolique, hyperbolique ou elliptique.

 Outre le concept de surface, ce sujet nécessite la connaissance de quelques notions de géométrie différentielle : en particulier le concept de trièdre mobile et de section principale : trièdre de Darboux-Ribaucour

Considérons une surface S étudiée au voisinage d'un de ses points M_o et définie par une équation de la forme z = f(x,y) où f est (au moins) deux fois continûment dérivable en x et en y. Soit (c) une section normale de S passant par M_o.

Si l'on choisit comme repère orthonormé mobile, un repère d'origine M_o contenant le plan tangent à S en M_o avec la droite (M_oz) portée par n, vecteur unitaire normal en M_o à la surface, on peut écrire le développement de Taylor à l'ordre 2 de la cote z = f(x,y) de tout M(x,y,z) infiniment près de M_o :

et vu le choix de notre repère, le contact en M_o est d'ordre 2 et par suite les dérivées partielles du 1er ordre sont nulles en M_o. D'où, à l'ordre 2 :

 Fixons z. Avec z = k, L'équation ci-dessus est de la forme :

r.x² + 2s.xy + t.y² = 2k

C'est une conique de centre M_o (ou de sommet M_o en cas de parabole). On peut se débarrasser du terme en xy en choisissant comme axe des abscisses la première direction principale de la surface au point M_o :

Sections principales d'une surface :

On a alors en M_o :

L'équation de la conique s'écrit alors sous la forme :

x²/R₁ + y²/R₂ = 2k

où R₁ et R2 désignent les rayons de courbure algébriques des sections principales en M_o (rayons de courbure principaux).

Indicatrice de Dupin :      

On peut préférer écrire :

K₁.x² + K₂.y² = 2k

où K₁ et K₂ sont les courbures principales. C'est l'équation de l'indicatrice de la surface au point M_o.  

Quatre cas peuvent se produire :

• K₁K₂ < 0, l'indicatrice est une hyperbole, la courbure gaussienne est négative. Le point M_o est dit hyperbolique. Dans ce cas les sections principales sont situées de part et d'autre du plan tangent en M_o : allure en forme de selle de cheval (point selle, point col). Il s'agit localement d'un paraboloïde hyperbolique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = x²/a² - y²/b² :

           

La voûte hyperbolique en selle de cheval est souvent utilisée en architecture contemporain. Exemple : Guillaume Gillet (1912-1987), architecte de la cathédrale de Royan (ci-dessus). La voûte en béton ne fait que 8 cm d'épaisseur. Un autre exemple est donné par l'église Saint-Joseph-Travailleur près d'Avignon.

  Le paraboloïde hyperbolique est une surface réglée : il peut être engendré par une droite glissant sur deux droites données non coplanaires tout en restant parallèle à un plan donné.

• K₁K₂ > 0, l'indicatrice est une ellipse. le point M_o est dit elliptique. Dans ce cas les sections principales sont situées d'un même côté du plan tangent en M_o : allure convexe ou concave suivant où l'on situe l'observateur; il s'agit plus précisément localement d'un paraboloïde elliptique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = x²/a² + y²/b² ou, en coordonnées curvilignes :

x = u.cos v , y = u.sin v , z = u²

Sur une sphère ou sur l'ellipsoïde, l'indicatrice est elliptique en tout point. Le cas du tore est moins simple car suivant la position de M_o sur sur une telle surface, les rayons principaux changent de signe.

• K₁K₂ = 0 avec K₁ ou K₂ non nul, un seul des rayons de courbure est infini. L'indicatrice est une parabole : Le point M_o est dit parabolique. Dans ce cas encore les sections principales sont situées d'un même côté du plan tangent en M_o : allure convexe ou concave suivant où l'on situe l'observateur ou encore plane pour un déplacement le long de la section principale (droite) dont la courbure est nulle; il s'agit plus précisément localement d'un paraboloïde cylindrique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = z = -x²/2a (y est indéfini le long de la section linéaire).

   Une surface dont tous les points sont paraboliques est développable : il est possible de la "déplier" pour en obtenir un patron plan.

• K₁K₂ = 0 avec K₁ et K₂ nuls : ce n'est possible que pour k = 0 : le point M_o est dit plat. Un exemple en est la surface dite en selle de singe d'équation :

z = x³ - 3xy²

On a K₁ = ²z/x² = 6x, K₂ = ²z/y² = -6y. En M_o(0,0,0), origine, le point est plat.

Ombilic d'une surface :       

Si a = b, on a R₁ = R₂ , les rayons de courbure des sections principales sont égaux. L'indicatrice est un cercle. On dit que le point M_o est un ombilic de la surface. Plus généralement, si une section d'une surface est un cercle, on parle de section cyclique et si ce cercle se réduit à un point (cas d'un plan tangent), le point est un ombilic; c'est un point limite : la courbure est constante dans toutes les directions.

Ombilics de l'ellipsoïde :

 Pour en savoir plus :

• Cours de mathématiques, tome 1, Ch. 21 par Jean Bass - Ed. Masson et Cie - Paris, 1964.
• ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, Jean Dieudonné - Ch IX, Géométrie différentielle par Paulette Libermann - Ed. Hermann - 1978 ,1992
• Cours de mathématiques supérieures par M. l'abbé E. Stoffaes - Ed. Gauthier-Villars, Paris - 1930
• Courbes et surfaces par Jean Taillé - Que sais-je ?, n° 564, P.U.F.