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28 novembre 2013 4 28 /11 /novembre /2013 12:50

 

Indicatrice de Dupin         géométrie différentielle               

L'indicatrice de Dupin précise la nature locale (au voisinage d'un point) d'une surface z = f(x,y) : parabolique, hyperbolique ou elliptique.

 Outre le concept de surface, ce sujet nécessite la connaissance de quelques notions de géométrie différentielle : en particulier le concept de trièdre mobile et de section principale : trièdre de Darboux-Ribaucour

Considérons une surface S étudiée au voisinage d'un de ses points Mo et définie par une équation de la forme z = f(x,y) où f est (au moins) deux fois continûment dérivable en x et en y. Soit (c) une section normale de S passant par Mo.

Si l'on choisit comme repère orthonormé mobile, un repère d'origine Mo contenant le plan tangent à S en Mo avec la droite (Moz) portée par n, vecteur unitaire normal en Mo à la surface, on peut écrire le développement de Taylor à l'ordre 2 de la cote z = f(x,y) de tout M(x,y,z) infiniment près de Mo :

et vu le choix de notre repère, le contact en Mo est d'ordre 2 et par suite les dérivées partielles du 1er ordre sont nulles en Mo. D'où, à l'ordre 2 :

 Fixons z. Avec z = k, L'équation ci-dessus est de la forme :

r.x2 + 2s.xy + t.y2 = 2k

C'est une conique de centre Mo (ou de sommet Mo en cas de parabole). On peut se débarrasser du terme en xy en choisissant comme axe des abscisses la première direction principale de la surface au point Mo :

Sections principales d'une surface :

On a alors en Mo :

L'équation de la conique s'écrit alors sous la forme :

x2/R1 + y2/R2 = 2k

où R1 et R2 désignent les rayons de courbure algébriques des sections principales en Mo (rayons de courbure principaux).

Indicatrice de Dupin :      

On peut préférer écrire :

K1.x2 + K2.y2 = 2k

où K1 et K2 sont les courbures principales. C'est l'équation de l'indicatrice de la surface au point Mo.  

Quatre cas peuvent se produire :

  • K1K2 < 0, l'indicatrice est une hyperbole, la courbure gaussienne est négative. Le point Mo est dit hyperbolique. Dans ce cas les sections principales sont situées de part et d'autre du plan tangent en Mo : allure en forme de selle de cheval (point selle, point col). Il s'agit localement d'un paraboloïde hyperbolique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = x2/a2 - y2/b2 :

           

La voûte hyperbolique en selle de cheval est souvent utilisée en architecture contemporain. Exemple : Guillaume Gillet (1912-1987), architecte de la cathédrale de Royan (ci-dessus). La voûte en béton ne fait que 8 cm d'épaisseur. Un autre exemple est donné par l'église Saint-Joseph-Travailleur près d'Avignon.

  Le paraboloïde hyperbolique est une surface réglée : il peut être engendré par une droite glissant sur deux droites données non coplanaires tout en restant parallèle à un plan donné.

 

 

  • K1K2 > 0, l'indicatrice est une ellipse. le point Mo est dit elliptique. Dans ce cas les sections principales sont situées d'un même côté du plan tangent en Mo : allure convexe ou concave suivant où l'on situe l'observateur; il s'agit plus précisément localement d'un paraboloïde elliptique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = x2/a2 + y2/b2 ou, en coordonnées curvilignes :

x = u.cos v , y = u.sin v , z = u2

Sur une sphère ou sur l'ellipsoïde, l'indicatrice est elliptique en tout point. Le cas du tore est moins simple car suivant la position de Mo sur sur une telle surface, les rayons principaux changent de signe.

  • K1K2 = 0 avec K1 ou K2 non nul, un seul des rayons de courbure est infini. L'indicatrice est une parabole : Le point Mo est dit parabolique. Dans ce cas encore les sections principales sont situées d'un même côté du plan tangent en Mo : allure convexe ou concave suivant où l'on situe l'observateur ou encore plane pour un déplacement le long de la section principale (droite) dont la courbure est nulle; il s'agit plus précisément localement d'un paraboloïde cylindrique dont l'équation générale cartésienne est de la forme z = z = -x2/2a (y est indéfini le long de la section linéaire).

     Une surface dont tous les points sont paraboliques est développable : il est possible de la "déplier" pour en obtenir un patron plan.

  • K1K2 = 0 avec K1 et K2 nuls : ce n'est possible que pour k = 0 : le point Mo est dit plat. Un exemple en est la surface dite en selle de singe d'équation :

z = x3 - 3xy2

On a K1 = 2z/x2 = 6x, K2 = 2z/y2 = -6y. En Mo(0,0,0), origine, le point est plat.

Ombilic d'une surface :       

Si a = b, on a R1 = R2 , les rayons de courbure des sections principales sont égaux. L'indicatrice est un cercle. On dit que le point Mo est un ombilic de la surface. Plus généralement, si une section d'une surface est un cercle, on parle de section cyclique et si ce cercle se réduit à un point (cas d'un plan tangent), le point est un ombilic; c'est un point limite : la courbure est constante dans toutes les directions.

Ombilics de l'ellipsoïde :

 Pour en savoir plus :

  • Cours de mathématiques, tome 1, Ch. 21 par Jean Bass - Ed. Masson et Cie - Paris, 1964.
  • ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, Jean Dieudonné - Ch IX, Géométrie différentielle par Paulette Libermann - Ed. Hermann - 1978 ,1992
  • Cours de mathématiques supérieures par M. l'abbé E. Stoffaes - Ed. Gauthier-Villars, Paris - 1930
  • Courbes et surfaces par Jean Taillé - Que sais-je ?, n° 564, P.U.F.

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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