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28 novembre 2013 4 28 /11 /novembre /2013 12:54

 

L'hyperboloïde à une nappe :       

il s'agit là encore d'une quadrique dont l'équation cartésienne peut se mettre sous la forme

x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1

On appelle nappe d'une surface, toute partie connexe de cette surface. Rappelons qu'un espace E est connexe s'il est, intuitivement d'un seul tenant : topologiquement, il ne peut exister exister une partition de E en deux ouverts (ou deux fermés) non vides.     en savoir un peu plus sur la connexité.

       
Centrale nucléaire de Tricastin (Drôme)   et  châteaux d'eau aux environs aux environs de l'aéroport de Roissy (France)

On engendre une telle surface en soumettant l'ellipse génératrice du cas précédent à "toucher" cette fois deux hyperboles encore centrées en O dont les équations dans leurs plans respectifs, (xOz) et yOz), sont :

x2/a2 - z2/c2 = 1 , y2/b2 - z2/c2 = 1

L'hyperboloïde peut être de révolution : obtenu par rotation d'une branche d'hyperbole autour d'un de ses axes; son équation est alors de la forme :

x2/a2 + y2/a2 - z2/c2 = 1    (b = a)

A partir de cette équation, on peut obtenir une paramétrisation au moyen des coordonnées curvilignes, l'équation de l'hyperboloïde de révolution peut s'écrire :

Preuve : posons z = cu, u décrivant R. Compte tenu de l'égalité x2/a2 + y2/a2 - z2/c2 = 1, dans le plan (xOy) la projection d'un point M(x,y,z) de la surface est le point m(x,y) décrivant le cercle de centre O de rayon a(1 + u2). on peut donc poser x = a(1 + u2)cos v et y = a(1 + u2)sin v avec v décrivant [0,2p].

Hyperboloïde sur YouTube :   hyperboloïdographe             Hyperboloïde en tant que surface réglée :  

 

L'hyperboloïde de révolution à deux nappes :( nappe)

Quadrique (surface algébrique du second degré) dont l'équation cartésienne peut se mettre sous la forme : x2/a2 + y2/a2 - z2/c2 = -1

La génération est identique au cas précédent (hyperboloïde à une nappe) mais cette fois les hyperboles directrices ont pour équation :

x2a2 - z2/c2 = -1 , y2/a2 - z2/c2 = -1

En paramétrant, l'équation peut s'écrire au moyen des coordonnées curvilignes :

x = a.sh(u).cos v, y = a.sh(u).sin v , z = ± c.ch u

Preuve : la cote z décrit R. Posons z = ± c.ch u, u décrivant R; compte tenu de l'égalité x2/a2 + y2/a2 - z2/c2 = -1, dans le plan (xOy) la projection d'un point M(x,y,z) de l'hyperboloïde est le point m(x,y) décrivant le cercle de centre O d'équation x2 + y2 = ch2u - 1 = sh2u, de rayon a.sh u.

On peut donc poser x = a.sh u.cos v et y = a.sh u.sin v avec v décrivant [0,2p].

On peut aussi obtenir l'hyperboloïde à deux nappes par rotation des deux branches d'une hyperbole autour de l'un de ses axes :


On suppose (ci-dessous), que l'on fait tourner autour de (Oy) l'hyperbole d'équation y2/4 - z2 = 1 tracée dans le plan (yOz)


Soit M(x,y,z) un point de la surface obtenue. Montrer qu'une équation de l'hyperboloïde est : x2 + z2 - y2/4 = - 1

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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