La mesure de comptage

Vendredi 11 novembre 2011 5 11 /11 /Nov /2011 00:24

- Par MS - Publié dans : OEIL SUR LES MATHEMATIQUES

La mesure de comptage

Lamesure de comptageest celle pour laquelle $\mu (A)$ est le nombre de points de l'ensemble

. $\Box$

Tous ces exemples sont élémentaires, dans le sens où la vérification de (SA) est évidente. D'ailleurs, ces mesures sont définies sur une tribu quelconque, et en particulier sur la tribu $\hbox{$\cal P$}(E)$ de toutes les parties de(et ceci, quel que soit l'espace). Nous énoncerons plus bas des résultats d'existence de mesures plus complexes (et plus utiles), notamment pour la mesure de Lebesgue (mesure de longueur sur $I\!\!R$ , ou de volume sur $I\!\!R^d$ ). Mais auparavant nous donnons quelques propriétés simples des mesures.

PropositionToute mesure $\mu$ sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ vérifie l'additivité (A), ainsi que les propriétés suivantes (ci-dessous on adans $\hbox{$\cal E$}$ ):

$\displaystyle \mu (A_1\cup\ldots\cup A_n)=\mu (A_1)+\ldots+\mu (A_n)$ $\displaystyle \mbox{ si les $A_1,..,A_n$ sont deux-\\lq a-deux disjoints,}$

(14)

$\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B),$

(15)

$\displaystyle A\subset B\quad\Rightarrow\quad\mu (A)\leq\mu (B).$

(16)

En particulier, () implique (A). Remarquer l'écriture de (): on ne peut pas en général écrire $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$ , puisque dans le second membre il se peut que tous les termes soient infinis, et que $\infty -\infty$ n'a pas de sens; en revanche $+\infty +\infty$ ``vaut'' naturellement $+\infty$ , de sorte que () a bien un sens dans tous les cas.

() se déduit immédiatement de (0) et de (SA) appliqué à la suite,...,, $B_{n+1}=\emptyset$ , $B_{n+2}=\emptyset$ ,...

Pour () on pose $C=A\cap B$ , $A'=A\backslash C$ at $B'=B\backslash C$ . On remarque que $A\cup B=A'\cup C\cup B'$ , $A=A'\cup C$ et $B=B'\cup C$ , tandis que les trois ensemblessont deux-à-deux disjoints. Par suite () implique

$\displaystyle \mu (A\cup B) = \mu (A')+\mu (C)+\mu (B'),$

$\displaystyle \mu (A) = \mu (A')+\mu (C),$

$\displaystyle \mu (B) = \mu (B')+\mu (C).$

En additionnant ces trois égalités membre à membre, on obtient (

).

Enfin, si $A\subset B$ , en posant $A'=B\backslash A$ on a $\mu (B)=\mu (A)+\mu (A')$ par (), et comme $\mu (A')\geq 0$ on obtient (). $\Box$

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Commentaires

Il comporte 20 permanents, 15 doctorants dont 3 ATER. La recherche du LIASD est structurée en projets de recherche gérés par des équipes ou sous-groupes :
La recherche abordée par le LIASD couvre un large spectre de l'informatique : l'algorithmique, la programmation, les systèmes embarqués, le temps réel, la robotique, les langages, la visualisation de données, la synthèse d'images, la logique floue, les jeux et l’interaction homme-machine. Cette diversité est l'une des forces du laboratoire, car elle favorise les recherches aux interactions des thématiques, là où le potentiel d’innovation est le plus grand.

Commentaire n°1 posté par LIASD le 15/11/2011 à 00h50

Exos de Topologie: http://www.math.jussieu.fr/~ginot/LM360/

Commentaire n°2 posté par Topo le 16/11/2011 à 17h42

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumellages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement."

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