Vendredi 11 novembre 2011 5 11 /11 /Nov /2011 00:24
- Par MS - Publié dans : OEIL SUR LES MATHEMATIQUES

La mesure de comptage

Lamesure de comptageest celle pour laquelle$ \mu (A)$est le nombre de points de l'ensemble$ A$.$ \Box$

Tous ces exemples sont élémentaires, dans le sens où la vérification de (SA) est évidente. D'ailleurs, ces mesures sont définies sur une tribu quelconque, et en particulier sur la tribu$ \hbox{$\cal P$}(E)$de toutes les parties de$ E$(et ceci, quel que soit l'espace$ E$). Nous énoncerons plus bas des résultats d'existence de mesures plus complexes (et plus utiles), notamment pour la mesure de Lebesgue (mesure de longueur sur$ I\!\!R$, ou de volume sur$ I\!\!R^d$). Mais auparavant nous donnons quelques propriétés simples des mesures.

PropositionToute mesure$ \mu$sur$ (E,\hbox{$\cal E$})$vérifie l'additivité (A), ainsi que les propriétés suivantes (ci-dessous on a$ A,B,A_1,...,A_n$dans$ \hbox{$\cal E$}$):

$\displaystyle \mu (A_1\cup\ldots\cup A_n)=\mu (A_1)+\ldots+\mu (A_n) $$\displaystyle \mbox{ si les $A_1,..,A_n$ sont deux-\\lq a-deux disjoints,}$ (14)


$\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B),$ (15)


$\displaystyle A\subset B\quad\Rightarrow\quad\mu (A)\leq\mu (B).$ (16)



En particulier, ([*]) implique (A). Remarquer l'écriture de ([*]): on ne peut pas en général écrire$ \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)-\mu (A\cap B)$, puisque dans le second membre il se peut que tous les termes soient infinis, et que$ \infty -\infty$n'a pas de sens; en revanche$ +\infty +\infty$``vaut'' naturellement$ +\infty$, de sorte que ([*]) a bien un sens dans tous les cas.

([*]) se déduit immédiatement de (0) et de (SA) appliqué à la suite$ B_1=A_1$,...,$ B_n=A_n$,$ B_{n+1}=\emptyset $,$ B_{n+2}=\emptyset $,...

Pour ([*]) on pose$ C=A\cap B$,$ A'=A\backslash C$at$ B'=B\backslash C$. On remarque que$ A\cup B=A'\cup C\cup B'$,$ A=A'\cup C$et$ B=B'\cup C$, tandis que les trois ensembles$ A',C,B'$sont deux-à-deux disjoints. Par suite ([*]) implique

$\displaystyle \mu (A\cup B) = \mu (A')+\mu (C)+\mu (B'),$
$\displaystyle \mu (A) = \mu (A')+\mu (C),$
$\displaystyle \mu (B) = \mu (B')+\mu (C).$
En additionnant ces trois égalités membre à membre, on obtient ([*]).

Enfin, si$ A\subset B$, en posant$ A'=B\backslash A$on a$ \mu (B)=\mu (A)+\mu (A')$par ([*]), et comme$ \mu (A')\geq 0$on obtient ([*]).$ \Box$


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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumellages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement."

 

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