Les connaissances mathématiques en Egypte Ancienne - ibni

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Cette frise chronologique va vous permettre de mieux situer les connaissances égyptiennes par rapport aux autres peuples :

Les égyptiens avaient donc quelques connaissances en mathématiques primaires afin de faire du commerce et pour compter divers choses de la vie quotidienne. Voici un tableau pour que vous puissiez exprimer tous les nombres égyptiens :

Les chiffres égyptiens

Comme les hiéroglyphes, ils sont représentés par des signes

Un :
Représenté par une barrette

Deux :
Représenté par deux barrette

Trois :
Représenté par trois barrette

Dix :
Représenté par une sorte de pont medjou

Vingt :
Représenté par deux pont medjou

Cent :
Représenté par la corde enroulée chet

Mille :
Représenté par le lotus kha

Dix mille :
Représenté par le doigt djeba

Cent mille :
Représenté par le têtard hefen

Un million :
Représenté par personnage aux bras levés

On noteras que le million (personnage aux bras levés) est aussi utilisé pour le signe de l’infini, tout comme le chiffre cent mille (têtard hefen) qui est utilisé pour designer un grand nombre.

Vous avez donc comprit le systeme ? Si oui, cherchez commebt ecrire 1 251 928 . La reponse est ci-dessous : Difficile donc de noter des sommes importantes, même sur des papyrus !

Les opérations simples

Les égyptiens connaissait en plus de l’adition la multiplication (que nous verrons plus tard lors des operations complexe) et la division :

Ils ne calculaient que par quantièmes (numérateur à 1). La plupart des informations nous proviennent du papyrus de Rhind : les scribes devaient avoir recours à des methodes complexe pour transformer des fraction ayant un denominateur different de 1. Ainsi 2/9 = 1/12 + 1/76 + 1/114.

Le papyrus Rhind

Le scribr Ahmes

Le papyrus Rhind (du nom de l’écossais Henry Rhind qui l’acheta en 1858 à Louqsor) est actuellement conservé au British Museum, de Londres, il contient 87 problèmes résolus d’arithmétique, d’algèbre, de géométrie et d’arpentage, sur plus de 5 m de longueur (à l’origine) et 32 cm de large. Il aurait été découvert sur le site de la très ancienne ville de Thèbes (ville de haute Égypte au bord du Nil à ne pas confondre avec la ville grecque de Thèbes) sur lequel furent édifiées les sanctuaires de Louqsor et de Karnak.

Son auteur, un scribe égyptien , Ahmes, fils de la Lune indique que son papyrus est, en partie, une copie de résultats plus anciens (vers -2000) remontant aux Babyloniens. Il fut écrit en écriture hiératique. Une transcription hiéroglyphique et commentée, The Rhind Mathematical Papyrus, est due à la Mathematical Association of America (1927-1929), et éditée à Oberlin (Ohio).

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmes étudie le rapport liant l’aire d’un disque à son diamètre en cherchant à ramener l’aire de la circonférence à celle d’un carré équivalent : le papyrus Rhind précise en effet une première approche de la quadrature du cercle (construction d’un carré de même aire qu’un cercle donné) : c’est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle.

Les fractions se représentaient avec un certain nombre de traits (le dénominateur) sous un oval (le denominateur de valeur 1) :

Exemple typique d’une fraction : celle-ci vaut 1/2

Le signe hiératique pour une fraction de 1/7 Ce signe représente une fraction d’une valeur de 1/7 en hiératique

Le signe hiératique pour une fraction de 1/8 Et celui-ci la fraction 1/8 toujours en hiératiques

Les opérations complexe

Les égyptiens savaient, par tatonnements, résoudre les équations du type ax = b (b étant en général un multiple de a). Dans le papyrus est posé le problème suivant : « un tas et son cinquième, cela fait 21. Quel est ce tas ? » Aujourd’hui on dirait : « trouvez x qui satisfait l’équation x + x/5 = 21 »

La démarche du scribe est la suivante (en language moderne) : supposons que x soit égal à 5 ;

x/5 = 1 et x + x/5 = 6.

Mais 6 n’est pas 21.

On passe de 6 à 21 en multipliant par 3,5 (3 + 1/2).

Le scribe fait subir à 5 cette opération :

(5*3) + (5*1/2) = 15 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 = 17 + 1/2 (17,5).

Le papyrus contient plusieurs problèmes d’arithmétiques dont la résolution fait intervenir à chaque fois une astuce. Il n’y a ni systématisation, ni recherche d’une solution générale.

Le Nombre pi

"l’aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de côté 8 coudées" : voici ce que l’on peut lire dans le papyrus Rhind. Le scribe Ahmès y indique le moyen de calculer l’aire d’un cercle de diamètre d : On a alors la plus ancienne approximation connue de pi. Dans ce document les nombres n’y sont pas représentés par des lettres , les nombres sont de vrais nombres, et deux exemples sont donnés : pour d = 9 et pour d = 10 .Le tout tient en trois lignes. Il est indiqué :

d’ôter un neuvième au diamètre de multiplier le résultat par lui-même. Comme le diamètre ne sera pas toujours un multiple de 9, il y aura des fractions.

La démarche donnée dans le papyrus est la suivante : on assimile le cercle à un carré de côté a = 8 d /9, ce qui donne : pi*d²/4 = 8²d²/9² ou encore pi = 256/81 = 3 + 13/81 = 3,16

Deux remarques à la suite de cela :

La première est que le scribe Ahmès ne dit pas : "voici une valeur approchée de pi" ; il décrit une approximation de type métrologique permettant d’évaluer l’aire d’un cercle de diamètre donné. pi, quel que soit le nom qu’on lui donne, n’est pas reconnu comme un nombre (ceci n’aura lieu que bien plus tard).

La seconde est que cette précision est la meilleure que peuvent obtenir les Égyptiens : en effet ceux-ci calculaient par quantièmes (fractions de numérateur 1).

Cherchons le meilleur rapport approchant a/d :

On a a² = pi*d²/4 , ou encore a/d = Rac(pi/2). On sait aujourd’hui que Rac(pi/2) = 0,88622. Or 1 - 1/8 = 0,875 ; 1 - 1/9 = 0,88888 ; 1 - 1/10 = 0,9 . La meilleure approximation est bien 1 - 1/9 !

On peut dire sans erreurs ni anachronismes, qu’en Égypte, à cette époque, on possédait un algorithme du type suivant :

Aire circulaire = (d - fd)² (f étant une fraction simple (ici f = 1/9)) . Comment étaient-ils arrivés à ce coefficient de 1/9 ?

La règle à division

Il existe dans la salle 6 d’Egyptologie du musée du Louvre un étrange objet, baptisée "Coudée". Sa longueur correspond effectivement à la coudée égyptienne : 52 cm et quelques. Il existe plusieurs copies de cet objet, dont une à Turin. Celui du Louvre appartenait au Ministre des finances de Toutankhamon.

Voici, développé, l’ensemble des inscriptions portées par cette règle : Elle est d’abord divisée en "pouces égyptiens". Mais, à droite on voit se dessiner d’étranges graduations irrégulières. N’allez quand même pas croire que cette irrégularité des graduations obéisse à un souci esthétique. Regardez au dessus de ces graduations. Le signe en forme de lentille signifie "fraction". De droite à gauche ces pouces égyptiens son divisés en demis, tiers, quarts, jusqu’à une division en seizièmes. Les égyptiens devait utiliser cette étrange "règle à calcul" pour effectuer des divisions. Impressionnant.

La géometrie

Pour la géometrie, on releve surtout des mesure de surface et de volumes qui se rapportent à des besoins quotidiens. On revoit encore là le côté pratique des égyptiens que ne faisait pas de la recherche pour de la recherche.

Informations sur cet article

• Auteur(s) : Thomas
• Publication : 30 mars 2005
• Mise à jour : 30 mars 2005
• Profil(s) : Egyptologue