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9 mars 2012 5 09 /03 /mars /2012 12:15

Les mathématiques tropicales, ou géométrie tropicale.

 

Les mathématiques tropicales, ou géométrie tropicale, sont une branche des mathématiques correspondant à l'étude d'un système modifié grâce à la redéfinition de l'addition et de la multiplication (et conséquemment d'autres opérations). Les mathématiques tropicales sont généralement définies grâce au minimum et à l'addition (algèbre min-plus), mais le terme est parfois utilisé pour désigner l'algèbre max-plus, définie grâce au maximum et à l'addition. Les mathématiques tropicales furent dénommées ainsi en l'honneur de leur inventeur brésilien, Imre Simon.

 

Semi corps max plus

L'ensemble R des nombres réels, muni des opérations de maximum et d'addition, possède une structure de semi corps.

Opérateurs mathématiques

Définitions des opérateurs

§                    On définit l'addition tropicale \oplus par :

a \oplus b = \max(a,b).

Le résultat de l'addition tropicale de deux nombres est donc le maximum de ceux-ci. Ainsi,  2 \oplus 3 = \max(2,3) = 3.

§                    On définit la multiplication tropicale (ou produit tropical) \odot (ou \otimes) par : a \odot b = a + b.

Le résultat de la multiplication tropicale de deux nombres est donc la somme usuelle de ceux-ci. Ainsi, 2 \odot 3 = 2 + 3 = 5.

Propriétés

   Propriétés des opérations tropicales comparées à celles des opérations usuelles

 Dans 

Addition tropicale

Addition

Multiplication tropicale

(mêmes propriétés que l'addition usuelle)

Multiplication

 Commutativité

Oui


car max(a,b) = max(b,a)

Exemple :  et 

Oui

a + b = b + a

Exemple :2 + 3 = 5et 3 + 2 = 5

Oui


car a + b = b + a

Exemple :  et 

Oui

a x b = b x a

Exemple : 2 x 3 = 6 et 3 x 2 = 6

 Associativité

Oui

Exemple : 

[afficher]

Démonstration

 

Oui

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Exemple:
(2 + 5) + 6 = 13
2 + (5 + 6) = 13
2 + 5 + 6 = 13

Oui

Exemple : 

Oui

(a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c

Exemple:
(2 x 5) x 6 = 60
2 x (5 x 6) = 60
2 x 5 x 6 = 60

Élément neutre

Pas d'élément neutre dans 

Pour disposer d'un élément neutre, on travaille dans .
L'élément neutre est alors .

En effet, .

0

En effet, a + 0 = a

0

En effet, 

1

En effet, a x 1 = a

Élément symétrique de a

Pas d'élément symétrique.

-a

En effet, a + (-a) = 0.

-a

En effet, .

En effet, .

Élément absorbant

Pas d'élément absorbant dans 

Pour disposer d'un élément absorbant, on travaille dans .
L'élément absorbant est alors .

En effet, .

Pas d'élément absorbant.

Pas d'élément absorbant.

0

En effet, .

Distributivité

 

 

 est distributive par rapport à . En effet,  et 

 est distributive par rapport à +. En effet

Dans 

Addition tropicale

Addition

Multiplication tropicale

(mêmes propriétés que l'addition usuelle)

Multiplication

Il manque à la structure (\R, \oplus, \odot) l'élément neutre pour la première loi et l'existence d'élément symétrique pour la première loi pour que celle-ci soit un corps. On parle alors du semi-corps (\R, \oplus, \odot).

Opérateur découlant des précédents

La puissance tropicale, que l'on notera a^{\odot b}, avec a un réel et b un entier naturel, correspond à la multiplication usuelle.

En effet,

a^{\odot b} = a \odot \cdots \odot a (b fois) = a + \cdots + a (b fois) = b \times a.

Semi-corps min-plus]

On peut définir une autre structure de semi-corps en prenant pour première loi le minimum au lieu du maximum.

Application au calcul des distances dans un graphe pour la structure min-plus

 

Si on ajoute à R l'élément  + \infty et qu'on munit l'ensemble de la structure min-plus, on peut utiliser la structure ainsi définie pour le calcul de plus courte distance dans un graphe.

On peut représenter un graphe pondéré à n sommets comme une matrice A = (ai,j) des distances entre chaque sommet: si le sommet i est lié avec le sommet j alors l'élément ai,j est égal au poids de l'arête (i,j), si les sommets i et j ne sont pas reliées alors ai,j correspond à l'infini (on a ai,i = 0).

Ainsi la distance entre i et j en passant par au plus un sommet est :  \min_{k \in \{1, \cdots, n\}}(a_{i,k}+a_{k,j})=\bigoplus_{k \in \{1, \cdots, n\}} a_{i,k}\odot a_{k,j}

Ceci correspond au produit matriciel dans la structure min-plus. Ainsi pour calculer la longueur d'un plus court chemin d'un sommet à un autre, en au plus n étapes, dans le graphe, il suffit de calculer la puissance n de A pour cette structure.

 

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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