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25 novembre 2010 4 25 /11 /novembre /2010 08:32

Cauchy.jpgEst-il possible de savoir si une suite converge (vers une limite finie), sans connaître sa limite ? La notion de suite de Cauchy répond à cette question. Elle traduit l'idée intuitive que les termes d'une suite convergente doivent être proches les uns des autres à partir d'un certain rang.

 

Définition 10   Soit $ (u_n)$ une suite de réels. On dit que $ (u_n)$ est une suite de Cauchy si pour tout $ \varepsilon >0$ les distances entre termes $ \vert u_{n+k}-u_n\vert$ sont inférieures à $ \varepsilon $ à partir d'un certain rang :

 

$\displaystyle \forall \varepsilon >0 ,\;\exists n_0 ,\;\forall n\geqslant n_0... ...\forall k\in\mathbb{N}\;,\quad \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \varepsilon \;. $

 

 

Il n'est pas surprenant qu'une suite convergente soit une suite de Cauchy.

 

Théorème 7   Si une suite de réels converge vers une limite finie, alors c'est une suite de Cauchy.

 


Démonstration : En utilisant l'inégalité triangulaire, écrivons :

 

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert=\vert u_{n+k}-l+l-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert\;. $

 

Fixons $ \varepsilon >0$ . Il existe un entier $ n_0$ à partir duquel $ \vert u_n-l\vert<\varepsilon /2$ , donc aussi $ \vert u_{n+k}-l\vert\leqslant \varepsilon /2$ . On a donc, pour tout $ n\geqslant n_0$ et pour tout $ k\in \mathbb{N}$  :

 

$\displaystyle \vert u_{n+k}-u_n\vert\leqslant \vert u_{n+k}-l\vert+\vert l-u_n\vert \leqslant \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon \;. $

 

$ \square$

 

L'intérêt de cette notion est qu'elle caractérise les suites réelles convergentes : la réciproque du théorème précédent est vraie dans $ \mathbb{R}$ .

 

Théorème 8   Dans $ \mathbb{R}$ , toute suite de Cauchy converge.

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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