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15 mars 2011 2 15 /03 /mars /2011 19:49

 

La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche »

Le théorème central limite (parfois appelé théorème de la limite centrale) établit la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme que toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une variable aléatoire gaussienne. La première démonstration de ce théorème, en 1812, est due à Pierre-Simon de Laplace, mais le cas particulier où les variables suivent la loi de Bernoulli de paramètre p=0.5 était connu depuis les travaux de De Moivre[1]. Le nom du théorème fait référence au document scientifique écrit par George Pólya en 1920 Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem (Sur le théorème central du calcul probabiliste, parmi ceux ayant rapport à la notion de limite, et le problème des moments).

Le théorème central limite admet plusieurs généralisations qui donnent la convergence de sommes de variables aléatoires sous des hypothèses beaucoup plus faibles. Ces généralisations ne nécessitent pas des lois identiques mais font appel à des conditions qui assurent qu'aucune des variables n'exerce une influence significativement plus importante que les autres. Telles sont la condition de Lindeberg et la condition de Lyapounov. D'autres généralisations autorisent même une dépendance « faible ». De plus, une généralisation due à Gnedenko et Kolmogorov stipule que la somme d'un certain nombre de variables aléatoires avec une queue de distribution décroissante selon \scriptstyle\ 1/|x|^{\alpha+1} avec \scriptstyle\ 0 < \alpha < 2 (ayant donc une variance infinie) tend vers une loi de Lévy tronquée symétrique et stable quand le nombre de variables augmente. Cet article se limitera au théorème de la limite centrale concernant les lois à variance finie.

Ainsi, ce théorème et ses généralisations offrent une explication à l'omniprésence de la loi normale dans la nature : de nombreux phénomènes sont dus à l'addition d'un grand nombre de petites perturbations aléatoires.

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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