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3 février 2014 1 03 /02 /février /2014 10:26
 


Ibni 2

 

Enlevé à son domicile de N’Djamena par des soldats de la garde présidentielle. Il était professeur de mathématiques à l’université de N’Djamena, et une personnalité de l’opposition politique dans son pays.

De nombreuses personnes et institutions restent actives pour demander la vérité et la justice. Depuis six ans, le Tchad refuse tout acte effectif d’enquête, et même de reconnaître sa mort. Depuis six ans, Ibni reste officiellement « disparu ».

Avec l’engagement de l’armée Française au Mali et avec le soutien du Tchad, le régime de Déby est devenu stratégiquement indispensable à la France.

Mais, la mobilisation de la Communauté scientifique, des élus, des institutions, pour continuer de demander la vérité et la justice au sujet d’Ibni et soutenir sa famille dans cette démarche demeure intacte.

Pour la communauté mathématique, Charles Boubel, maître de conférences à l'Université de Strasbourg, vient de lancer un nouveau billet dans "Images des Maths" du CNRS.

Lors de la Commémoration à Orléans, le 01 février 2014, le Sénateur Jean-Pierre Sueur a annoncé qu'il est sur le point d'engager, avec son collègue Gaëtan Gorce, une nouvelle action au niveau du Sénat français.

L'affaire Ibni Oumar Mahamat Saleh est donc loin d'être classée.

La rédaction de TchadPages, Convergence pour une Émergence Citoyenne au Tchad

MS XibniY : LE BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR - dans CONTRIBUTION&MATHEMATIQUES
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30 janvier 2014 4 30 /01 /janvier /2014 07:56

 

Dans un livre récent, que nous discuterons prochainement, « Our Mathematical Universe. My quest for the ultimate nature of reality » le cosmologiste Max Tegman développe l'hypothèse selon laquelle l'univers profond ne consiste pas en ce que nous percevons comme des réalités, soit qu'il s'agisse seulement de réalités sensibles, soit qu'il s'agisse de réalités descriptibles par les mathématiques. Il serait, en fait, intrinsèquement mathématique. De plus, selon Tegman, les structures mathématiques permettant de décrire notre univers ne correspondraient qu'à l'une des innombrables structures mathématiques encore à découvrir formant la nature profonde de la réalité.

Ainsi, à toutes ces structures, connues ou inconnues de nous, pourraient être associés (Tegman n'emploie pas le conditionnel) des univers différents. Différentes structures mathématiques devraient exister simultanément, sous la forme des univers parallèles ou du multivers. Beaucoup de cosmologistes font aujourd'hui l'hypothèse, sans pouvoir aujourd'hui la prouver, que ces univers parallèles existent au même titre que notre univers, correspondant lui-même à nos mathématiques – ou à une partie de nos mathématiques.

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Il est possible de retenir cette approche afin d'expliquer le fait que deux structures mathématiques différentes, bien connues et pratiquées aujourd'hui, soient utilisées pour décrire le monde ou plutôt deux mondes tels que nous les percevons. Les structures mathématiques classiques, ou disons plus simplifier newtoniennes, s'appliquent correctement au monde de la physique et de la cosmologie dites macroscopiques. Les structures des mathématiques quantiques, longtemps ignorées par l'humanité mais se découvrant progressivement, permettent de comprendre les caractéristiques moins bien connues mais aujourd'hui indiscutables du monde quantique tel que nous l'observons : la superposition d'état, la non-localité, la non temporalité, etc. Cette approche radicalement différente ne surprend plus aujourd'hui personne, dans la mesure où il semble admis que le monde macroscopique n'est qu'une forme parmi les nombreuses autres formes que peut prendre le monde quantique, qui serait le monde fondamental à l'origine de tout. De la même façon, les mathématiques newtonienne ne seraient qu'une des formes susceptibles d'être prise par des structures mathématiques plus générales bien représentées par les mathématiques quantiques.

Mais est-ce bien le cas ? Il est possible d'admettre au contraire qu'il y aurait déjà deux univers coexistant en parallèle, celui du monde macroscopique et celui du monde quantique, correspondant à deux mathématiques coexistant elles-mêmes en parallèle, les mathématiques newtoniennes et les mathématiques quantiques. Ces univers, d'une part, ces mathématiques d'autre part, semblent présenter un certain nombre d'analogies permettant à la science moderne d'établir des ponts entre elles. Mais selon certains théoriciens, ces analogies ne seraient qu'une approximation, cachant le fait qu'elles proviennent de deux univers parallèles. Plutôt que chercher à réduire les différences entre ces deux univers, afin de satisfaire le mythe selon lequel l'univers est un, ne faudrait-il pas au contraire approfondir leurs différences, afin, non de démontrer déjà la réalité du multivers, mais de démontrer dans un premier temps la réalité de deux univers parallèles. Ce faisant, notre cerveau biologique, dont la plasticité est grande, pourrait peut-être s'habituer à rechercher dans la réalité profondes des superpositions analogues entre structures mathématiques différentes

La racine carrée de - 1

On dira que ce qui précède relève de supputations. Or les travaux récents du physicien théoricien Bill Wootters (photo) du Williams College à Williamstown, Massachusetts 1), pourraient justifier non seulement l'intérêt mais la nécessité d'une telle approche. On lira à ce sujet un article fort éclairant de Matthew Chalmers dans le Newscientist du 23 janvier 2014 dont nous nous sommes en partie inspirés From i to u : Searching for the quantum master bit. Wooters n'envisage pas comme Tegman l'ensemble des mathématiques correspondant à un éventuel multivers. Il se limite, mais c'est déjà beaucoup, à celles reposant sur un concept mathématique n'ayant pas de correspondance dans la réalité « newtonienne » évoquée plus haut, celle de la racine carrée 2) de - 1 (moins un). 3)

Dans les mathématiques ordinaires, celles qui sont nécessaires au traitement des objets sensibles, - 1 n'a pas de racine carré, puisque toute multiplication de - 1 par - 1 donne 1. Cependant les physiciens utilisent constamment la racine carrée de - 1, représentée par le symbole i. Ceci en algèbre, mais aussi aussi en géométrie dans certaines formes de trigonométrie, ou en physique pour décrire les rotations et les oscillations. Les électriciens l'emploient pour concevoir des courants alternatifs ou décrire les ondes lumineuses ou sonores. Il est donc possible de supposer que i corresponde en quelque sorte à une réalité profonde de l'univers.

Bien que ne s'agissant pas d'un nombre ordinaire permettant de traiter les objets sensibles, i est l'un des fondement de la physique, tant macroscopique, comme nous venons de le voir, que quantique. Que serait alors son statut ? S'agirait-il d'une commodité mathématique, ne correspondant à rien de précis dans l'univers ? Ne se rattacherait-il pas au contraire à un univers différent du nôtre, faisant la liaison ou se superposant entre deux mondes, le monde macroscopique et le monde quantique ? Bill Wooters formule cette dernière hypothèse. Selon lui, i, la racine carrée de - 1, renverrait à une entité non encore décrite, un « bit » d'information universel qui interagirait avec tout ce qui existe dans la réalité, lui conférant selon les cas un comportement quantique ou non.. Il l'a nommé u.bit, par extension du concept de q.bit lequel correspond à un élément d'information quantique.

Pour le montrer, Wooters insiste sur le fait que le u.bit ne serait pas seulement un outil commode pour décrire comme nous l'avons vu certains aspects de l'univers macroscopique. Il serait un outil fondamental pour la description de l'univers quantique, . En physique quantique en effet, il est admis depuis maintenant un siècle que les particules microscopiques, électrons ou photons par exemple, sont à la fois des ondes et des corpuscules. Elles ne peuvent donc pas être simulées par les mathématiques que nous avons appelées newtoniennes, leur assignant avec précision des positions et des impulsions. Il faut faire appel à la fonction d'onde. Celle-ci décrit , à partir d'une série de nombres « complexes » 3), tous les états possibles d'une particule isolée. Mais alors que les mathématiques classiques permettent facilement de décrire une onde, elles ne disposent pas des outils permettant de décrire l'interaction entre une onde et une particule.

Ceci étant, il est admis depuis les débuts de la mécanique quantique que la fonction d'onde ne peut décrire exactement la réalité correspondant à une particule isolée. Celle-ci n'apparait que lorsque la fonction d'onde est « réduite », par exemple du fait de l'intervention d'un observateur, mais dans ce cas, la description est tronquée, faisant apparaître soit la position soit l'impulsion de cette particule, mais non les deux simultanément. Or, mathématiquement, pour Wooters, l'opération consistant à comparer une prédiction quantique prenant la forme d'une fonction d'onde avec la réalité correspond à une opération analogue, celle consistant à réaliser la multiplication de la fonction d'onde par elle-même, c'est-à-dire réaliser sa mise au carré. Ceci fait disparaitre tous les i et fournit une probabilité exprimée par un nombre réel.

S'il existe dans un cas particulier plusieurs façon d'obtenir une probabilité pour une position donnée de la particule, il faut pour les obtenir ajouter tous les nombres complexes représentant ces différentes façons et en faire le carré. Ce n'est pas ce qui se pratique dans le monde réel, avait depuis longtemps observé Wooters. Dans ce monde, la probabilité d'obtenir un 10 à partir d'un jet de deux dés est de 3/36, puisqu'il y a 3 façons d'obtenir un 10 à partir de 36 résultats possibles. On ajoute les probabilités, au lieu de les ajouter et ensuite d'en prendre le carré.

L'intervention de nombres complexes accroit la difficulté. Les nombres complexes (3) comportent des parties réelles et d'autres imaginaires, alors que les probabilités intéressant la réalité observable sont seulement réelles. Ceci implique, précise Wooters, qu'une partie de l'information mémorisée par les nombres complexes se perd lorsque l'on en fait le carré. Autrement dit, un certain lien entre le passé et le future disparaît. Il n'est plus possible de prédire le futur d'un objet, à partir d'informations exactes sur son passé, comme on peut le faire dans le monde réel. Remplacer les racines carrés « complexes » par des racines carrés « réelles » pourrait éviter cette perte troublante d'information. Les racines carrés « réelles » deviendraient des objets compréhensibles et non extraordinaires, la nature démontrant alors son intérêt pour l'établissement d'un lien fort entre le passé et le futur.
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Des bases matérielles macroscopiques pour la mécanique quantique

Dans la recherche, qui n'a jamais cessé, des bases matérielles macroscopiques hypothétiques de la mécanique quantique, le physicien suisse Ernst Stueckelberg avait proposé vers 1960 de reformuler cette dernière en n'utilisant que des nombres réels. Mais quant il avait voulu exprimer de cette façon le fondamental principe d'incertitude, il s'était aperçu qu'il ne pouvait définir avec suffisamment de précision la position d'une particule associée à son impulsion.

Pendant plusieurs années, Wootters avait abandonné l'approfondissement de cette question pour d'autres questions importantes intéressant notamment la théorie quantique de l'information. Puis il l'a reprise en 2009 à l'occasion d'un séminaire donné à Vienne et concernant ses travaux sur cette dernière (4). Que pouvait être le rôle de i, c'est-à-dire rappelons-le, de la racine carré de -1, dans les développements de la théorie quantique de l'information ? En 2012 5), avec ses étudiants, il a proposé de remplacer les traditionnels q.bits utilisés par la théorie quantique classique de l'information pour obtenir des versions probabilistes du simple bit traité depuis par des décennies par les ordinateurs ordinaires. Pour ce faire, il a proposer de remplacer les q.bits par des nombres réels équivalents, en retrouvant les relations d'incertitudes de la mécanique quantique classique, mais ceci sans faire appel à i.

Mais ce faisant,Wootters s'est posé un problème d'ampleur, quasiment philosophique. Existait-il dans la réalité une entité physique réelle correspondant au rôle joué par i dans ses équations. Il a répondu par l'affirmative et nommé cette entité U.bit. Il s'agirait alors d'une sorte de nouvelle entité indéfinissable dans les termes de la physique, qu'elle soit macroscopique ou quantique, et interagissant avec tout ce qui existe dans l'univers. Mathématiquement, ce serait un vecteur dans un espace réel à 2 dimensions. Physiquement, en s'intriquant avec tout ce qui existe dans l'univers, cette entité pourrait remplacer chacun des nombres complexes de la théorie quantique. De plus, selon la description mathématique qu'en donne Wooters, elle devrait, quelque soit sa nature réelle, être affectée d'une rotation rapide.

Cette sorte de « monstre » pourrait avoir divers effets inattendus, traduisant son existence d'une façon indirecte. Dont celle de provoquer la décohérence d'une particule quantique isolée. Dans ce cas, il faudrait dire adieu aux perspectives proposées par les développeurs d'ordinateurs quantiques, reposant sur la mise en oeuvre de centaines voire de milliers de q.bits. Mais pourquoi, dira-t-on, ne rencontre-t-on pas déjà cette difficulté dans les calculateurs quantiques existants ? Ce pourrait être le cas précisément, mais d'une façon cryptée. Si l'u.bit n'exerçait qu'une action très faible, celle-ci serait longue à se manifester dans nos échelles de temps.

Beaucoup de physiciens restent sceptiques. De toutes façons, disent-ils, pour se convaincre de la réalité d'une forme nouvelle telle que l' u.bit associant l'univers macroscopique avec l'univers quantique, il faudrait l'observer, directement ou indirectement, comme ce fut fait du boson de Higgs grâce au LHC.



La trace d'univers parallèles

Quoiqu'il en soit, si nous nous éloignons des points de vue que peut avoir Wooters et ceux qui le suivent sur cette question, nous voudrions faire pour notre compte quelques réflexions. On pourrait voir dans les recherches de Wooters une sorte de réactivation de l'hypothèse des variables cachées, Celle-ci est supposées permettre d'expliquer les phénomènes les plus étranges de la physique quantique, tels précisément l'intrication, en termes relevant de la physique macroscopique, à supposer que des variables correspondantes soient mises en évidence. Un certain nombre de physiciens n'ont pas renoncé à les identifier.

 

On pourrait également proposer que l'u.bit soit la manifestation physique d'un univers mathématique associant les propriétés du nôtre et celles du monde quantique. Et qu'en serait-il alors des autres nombres incalculables, tel que l'infini ? En ce cas, si notre univers était fondamentalement mathématique et s'il existait plusieurs univers parallèles également mathématiques, on pourrait supposer que ces univers, au lieu de rester étrangers les uns aux autres, puissent générer des entités mathématiques communes inattendues (monstrueuses) pouvant prendre des formes matérielles, c'est-dire éventuellement observables mais non calculables, dans chacun de ces univers.

D'ores et déjà les nombres complexes servent à expliquer les transitions entre divers états de la matière au sein de notre univers physique. Pourquoi ne joueraient-ils pas - que ce soit eux ou de nouvelles structures mathématiques comparables - le même rôle entre notre univers et d'autres univers dont les structures mathématiques seraient à découvrir. Si de telles mathématiques encore inconnues pouvaient générer des transitions matérielles communes à eux et à notre univers, nous pourrions avec un peu d'attention les mettre en évidence. D'ores et déjà, elles existeraient peut-être « sous notre nez », si l'on peut dire, comme existe la racine carré de – 1. Mais nous ne les aurions pas encore découvertes, ou bien nous ne soupçonnerions pas leur universalité ubiquitaire au sein d'un éventuel multivers. Nous les rangerions parmi les fantaisies, sinon les fantasmes, de mathématiciens théoriciens à l'imagination débordante.

Un problème à traiter, dans la suite de ces considérations, serait celui de la nature du cerveau, notamment du cerveau humain, et notamment de celui desdits mathématiciens. L'évolution n'en a-t-elle fait qu'un instrument inutilement complexe servant initialement à découvrir des prédateurs dans la brousse africaine ? Pourquoi dans ce cas seraient-ils capables de concevoir des structures mathématiques, soit réelles, soit imaginaires, ressenties comme platoniciennes, et correspondant à des univers eux-mêmes soit réels soit imaginaires ? Existerait-il, comme le soupçonne Roger Penrose et de plus en plus avec lui d'autres théoriciens de la biologie quantique, des connexions qui se découvriraient progressivement entre nos cerveaux (Penrose préfère utiliser le terme de conscience) et l' « ultime nature de la réalité » qui, selon les termes de Max Tegmann évoqués en introduction, serait mathématique. Dans ce cas, la question que nous posions en titre « L'univers est-il mathématique ? Et de quelles mathématiques s'agit-il  ? » pourrait commencer à trouver des débuts de réponse.

Notes

1) William Wootters http://en.wikipedia.org/wiki/William_Wootters

2) Sur la racine carré en général, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e
La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. Un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels la racine carrée de 2, p et e. Selon cette définition -1 n'étant pas un nombre positif n'a pas de racine carrée.

3) Sur la racine carrée de -1, voir un petit article de vulgarisation en français http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/le-nombre-i

4) Sur les nombres complexes voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe

5) Voir ArXiv Real-Vector-Space Quantum Theory with a Universal Quantum Bit http://arxiv.org/abs/1210.4535

6) Voir ArXiv .Optimal Information Transfer and Real-Vector-Space Quantum Theory http://arxiv.org/abs/1301.2018

MS XibniY : LE BLOG DE MOHAMED SALEH IBNI OUMAR - dans CONTRIBUTION&MATHEMATIQUES
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30 janvier 2014 4 30 /01 /janvier /2014 07:22

 

Ce mercredi après-midi avait lieu dans un grand nombre de lycées de la région la 32e édition du ‘‘Rallye mathématique’’ de Bourgogne, dont l’objectif est « de susciter l’intérêt des jeunes lycéens le goût des mathématiques et de la recherche en mathématiques ». Environ 600 élèves, pour l’ensemble de l’académie – soit une cinquantaine de plus que l’année précédente – ont ainsi répondu par équipes, et ce durant quatre heures, à diverses énigmes mathématiques.

L’organisation de ce concours est gérée par l’IREM (Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques) de l’Université de Bourgogne : chargé de la rédaction des sujets et de la gestion des inscriptions, l’institut corrigera également les copies et remettra ensuite les récompenses.

En Côte-d’Or, les organisateurs ont pu compter sur quelque 70 inscrits, de la seconde à la terminale, rien qu’au lycée Carnot à Dijon. Une bonne chose pour Michel Plathey, professeur de mathématiques dans cet établissement : « Ce rallye est très intéressant pour les élèves, cela leur permet de résoudre des problèmes originaux et cela ouvre plus d’horizons que les mathématiques classiques ».

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17 janvier 2014 5 17 /01 /janvier /2014 08:37

 

Ce que les correcteurs attendent de vous

De la clarté. En maths, pas de chichis. Les professeurs attendent des résultats justes, clairs, démontrés, justifiés. Pour chaque démonstration, procédez suivant trois étapes : hypothèse, théorème, conclusion. Encadrez le résultat final pour le faire ressortir. "Attention aux unités", alerte Arié Yallouz, professeur au lycée Camille-Sée à Paris XVe.

Vous n’êtes pas obligé de traiter les exercices dans l’ordre de leur proposition. En début d’épreuve, jetez donc un coup d’œil rapide à l’ensemble du sujet. "Les réponses qu’on attend de vous se trouvent très souvent dans les questions suivantes pour ne jamais bloquer les candidats", rappelle Rémi Belloeil, professeur au lycée René-Cassin à Montfort-sur-Meu (35).

De plus, cela vous permettra de voir ce que vous pouvez faire facilement en premier. "On considère qu’il ne faut pas passer plus d’une demi-heure à trois quarts d’heure par exercice, une heure si beaucoup de points lui sont attribués. Passé ce délai, mieux vaut en changer pour y revenir plus tard", recommande Éric Barbazo, professeur de maths au lycée les Iris de Lormont (33) et président de l’Apmep (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public).

Vous pouvez notamment commencer par répondre aux questions de cours avant de vous concentrer sur les questions plus difficiles. Pour ne pas rendre une copie brouillon avec des astérisques pour chaque ajout de texte, réservez une page double pour chaque exercice. Cela vous permettra de revenir en arrière quand vous le souhaitez.

Ce qui rapporte des points

"On valorise le travail des élèves qui font l’effort de montrer qu’ils comprennent les calculs qu’ils effectuent, qui ne récitent pas des théorèmes mais les appliquent. Bref, qui prennent du recul", déclare Éric Barbazo. Donnez le sentiment que vous dominez votre sujet.

Par ailleurs, quand il y a des schémas à faire, appliquez-vous : cela peut rapporter beaucoup de points. N’hésitez pas à utiliser de la couleur. Si la note doit basculer vers le point supérieur ou inférieur, l’impression visuelle comptera.

Ce qu’il ne faut pas faire

Ne négligez pas la rédaction. Ce n’est pas parce que vous faites des maths qu’il ne faut pas rédiger, sauf s’il s’agit d’un QCM (questionnaire à choix multiples). "N’écrivez pas des calculs partout sur votre copie (il y a un brouillon pour cela), sans explications, sans justifications, sans liaisons dans le raisonnement. Donnez un petit titre (par exemple, “Limites en + ∞” ou “Signe de la dérivée”) à ce que vous faites. Concluez par une phrase", conseille Éric Barbazo, professeur de maths au lycée les Iris de Lormont (33).

Le "bidouillage". Il ne faut jamais "bidouiller" pour faire croire au correcteur (qui n’est pas dupe) qu’on est arrivé au bon résultat. Cela donne une impression de malhonnêteté qui énerve les professeurs ! Admettez le résultat et poursuivez.

L’incohérence d’un résultat. "Si vous arrivez à un résultat incohérent, n’effacez pas tout, ne le laissez pas tel quel. Écrivez sur votre copie que vous pensez qu’il y a une erreur quelque part, même si vous ignorez où ! Au bac, il faut montrer tout ce que l’on sait", indique Rémi Belloeil, professeur au lycée René-Cassin à Montfort-sur-Meu (35).

Une erreur rédhibitoire. Pour le président de l’Apmep (Association des professeurs de mathématiques de l’enseignement public), une erreur rédhibitoire serait de dire x² = 9 donc x = 3 en oubliant x = – 3 ou de confondre les fonctions f et f(x). En revanche, une faute de signe n’est pas vraiment grave.

Se préparer mentalement

Les maths, souvent la bête noire des élèves… Pourtant, "en mathématiques, on ne réussit pas moins bien qu’ailleurs. Ce n’est pas plus dur que courir le 100 mètres en 11 ou 12 secondes. Il faut apprendre son cours, et ensuite s'entraîner régulièrement", déclare Éric Barbazo.

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17 janvier 2014 5 17 /01 /janvier /2014 08:30

Lemag : Edward Frenkel est un mathématicien américain, professeur à UC Berkeley (université de Californie, Berkeley), spécialiste d’Algèbre, géométrie et de math-physique.    

    
Dans une vidéo publiée sur le canal Youtube Numberphile, Edward Frenkel donne une explication en mathématique de la manière dont l’agence d’espionnage américaine NSA, arrivent à pirater les Email, le long et le large du net mondial.

Selon Frenkel, derrière les piratages à répétition de la NSA, se cachent des algorithmes et des mathématiques.

La NSA selon ce mathématicien américain, excelle dans des schémas mathématiques ultras complexes pour pirater les correspondances électroniques des internautes.


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16 janvier 2014 4 16 /01 /janvier /2014 08:37

 

 
C'est l'un des plus vieux problèmes mathématiques du monde. Il y a plusieurs siècles, la conjecture des nombres premiers jumeaux était formulée. Comme son nom l'indique, cette hypothèse, que plusieurs historiens des sciences attribuent au mathématicien grec Euclide, porte sur les nombres premiers, ces nombres divisibles seulement par eux-mêmes et par 1 (2, 3, 5, 7, 11...). Selon cette supposition, il existerait une infinité de paires de nombres premiers dont la différence est égale à 2, appelés nombres premiers jumeaux (tels 3 et 5), mais personne n'a pu le valider jusqu'à présent.

En avril 2013, le mathématicien de l'Université du New Hampshire Yitang Zhang présentait une "version faible" de cette conjecture en prouvant qu'il existait une infinité de nombres premiers dont l'écart entre les deux nombres de la paire était inférieur à 70 millions.

Peu de temps après, James Maynard, postdoctorant au Centre de recherches mathématiques de l'Université de Montréal , allait encore plus loin, en réduisant l'écart à 600. Ce résultat représente un énorme progrès dans la quête visant à établir la conjecture des nombres premiers jumeaux et ravive une vieille question n'ayant pas progressé depuis des années.

Une approche plus simple

Comment ce jeune mathématicien de 26 ans, fraichement diplômé de l'Université d'Oxford, en est-il arrivé là? Grâce notamment aux travaux de sa thèse , il a trouvé un moyen d'améliorer et de simplifier la méthode de Yitang Zhang en remplaçant un outil qui estime la probabilité qu'un nombre soit premier. "Yitang Zhang et moi sommes partis du même point , mais nous avons pris des chemins totalement différents. La méthode que j'utilise est beaucoup plus simple." À tel point que son directeur de recherche , Andrew Granville, affirme qu'elle "peut être enseignée dans un cours de troisième cycle".

Depuis, des centaines de chercheurs travaillent à réduire l'écart à 2 et ainsi attester la véracité de la célèbre conjecture. Sur la plateforme collaborative Polymaths, ils sont nombreux à déposer les résultats de leurs recherches. Dans cette discipline où les chercheurs sont habitués à travailler seuls, c'est une méthode de travail assez exceptionnelle. Ce que confirme James Maynard. "C'est assez inhabituel pour moi, qui ai l'habitude de travailler dans mon coin. Mais c'est vraiment intéressant de travailler en communauté." Aujourd'hui, l'écart continue à diminuer grâce à ce travail collaboratif.


James Maynard
Des nombres très utiles

Mais quel est l'intérêt d'en apprendre davantage sur les nombres premiers? Le commun des mortels l'ignore, mais ces nombres occupent une place importante dans nos vies quotidiennes. La cryptographie y a recours entre autres pour assurer la sécurité et la protection des données .  James Maynard prend l'exemple des achats sur Internet . "Lorsqu'on achète quelque chose en ligne, on entre dans l'ordinateur ses numéros de cartes de crédit, mais il y a des risques de piratage. Ce sont les nombres premiers qui protègent nos données. Toute la sécurité bancaire des sites de vente est basée sur les nombres premiers."

De plus, élargir nos connaissances sur les nombres premiers pourrait nous permettre de résoudre des problèmes complexes dans d'autres disciplines telles que l'ingénierie ou la chimie .

Bientôt la fin de l'énigme?

Arrivera-t-on un jour à démontrer la véracité de la conjecture des nombres premiers jumeaux en employant la "méthode Maynard"? "J'adorerais ça, mais je pense que non. Il y a de grosses difficultés à résoudre ce problème. Avec ma méthode, on devrait pouvoir atteindre un écart de 6. Mais il faudra une autre approche pour arriver à 2. Je suis persuadé que l'hypothèse est vraie, il y a de très bonnes raisons de le penser."

La démarche mathématique proposée par James Maynard fait en tout cas beaucoup parler. Elle devrait bientôt être publiée dans un journal scientifique et les réactions des chercheurs en mathématiques sont positives. Le jeune mathématicien a reçu de nombreux messages de félicitations et d'encouragement de la part de ses pairs. Sa méthode devrait en effet pouvoir être utile pour dénouer d'autres problèmes mathématiques.

Andrew Granville estime que le résultat de James Maynard est un "grand progrès dans notre compréhension des nombres premiers, progrès que nous aurions pensé impossible il y a encore un an".

Et celui qui a la bosse des maths depuis qu'il est tout petit ne compte pas s'arrêter là! Amateur de casse-têtes et de jeux de raisonnements, James Maynard sait que les nombres premiers présentent encore de nombreux mystères sur lesquels se pencher.
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7 janvier 2014 2 07 /01 /janvier /2014 11:49

            

                           

 

 

Une loi mathématique pourrait permettre de prévoir la taille des plus grandes villes du monde, annonce io9. Cette loi, c'est la loi de Zipf, découverte en 1949 par George Zipf, un linguiste américain qui étudia les statistiques appliquées aux différentes langues. En analysant Ulysse de James Joyce, il observa que certains mots étaient plus utilisés que d'autres, mais pas seulement: le mot le plus utilisé l'est deux fois plus que le deuxième, trois fois plus que le troisième et ainsi de suite. La loi a ensuite été formulée par Jean-Baptiste Estoup puis théorisée par Benoît Mandelbrot.

Cette loi, qui s'adapte aussi aux revenus dans un même pays, est vérifiée pour les Etats-Unis: New York, ville la plus peuplée avec 8.175.133 habitants en 2010, est presque deux fois plus peuplée que Los Angeles (3.792.621 habitants), trois fois plus que Chicago (2.695.621 habitants), quatre fois plus que Houston (2.100.263 habitants) et cinq fois plus que Philadelphie (1.626.006 habitants).

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En plaçant ces villes dans un graphe avec en ordonnée leur rang et en abscisse leur population, comme l'a fait l’économiste français Xavier Gabaix, l'effet est encore plus visible.

Afin de tester les applications de la loi, il a fallu définir ce qu'était une ville. Prend-on en compte les frontière politiques ou géographiques? Deux géographes suédois se sont posé la question. Ils ont établi un modèle établissant les villes selon les axes de communication et les regroupements de population pour les mettre à l'épreuve de la loi de Zipf. Et la réponse est surprenante: ces villes «naturelles» y obéissent de la même façon que les villes «politiques».

Néanmoins, cette loi a quelques exceptions, comme le rapportait Nature en 2012. Elle ne fonctionne que pour les plus grandes villes d'un pays. En dessous de 100.000 âmes, la taille des agglomérations se distribue de façon plus homogène.  De plus, appliquée aux villes, la loi de Zipf n'est valable qu'au sein d'une économie donnée: alors qu'elle est vraie au sein d'un même pays de l'Union européenne, elle est fausse quand il s'agit de classer les villes de différents pays de l'Union européenne, dont l'économie, à l'inverse de celle des Etats-Unis, ne s'est pas encore intégrée.

Dans le cas de la France, les résultats ne sont pas aussi nets qu'aux Etats-Unis, justement à cause d'une démographie moindre: en 2010, Paris comptait 2.243.233 habitants, Marseille 850.726 (donc Paris est presque trois fois plus peuplée), Lyon, Toulouse et Nice arrivaient ensuite avec respectivement 484.344, 441.802 et 343.304 habitants (on ne constate donc pas les écarts prévus par la loi de Zipf).

Toujours est-il qu'on ne sait pas pourquoi ni comment cette loi de Zipf s'applique aux villes. Les chercheurs qui se sont penchés dessus n'ont pu qu'émettre des suppositions, comme l'attrait qu'exercent les plus grandes villes sur l'immigration ou la quantité de richesses qu'elles produisent (richesses qui, naturellement, se distribuent selon la loi de Zipf). Il est clair que les explications sont à la fois sociales, mathématiques et économiques, mais tout ce qu'on sait pour le moment, c'est que la pratique l'emporte encore une fois sur la théorie.

À lire aussi sur Slate.fr
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7 janvier 2014 2 07 /01 /janvier /2014 11:47

 

 

Les résultats contenus dans cette publication s'appuient sur des données de l'Étude longitudinale du développement des enfants du Québec (ÉLDEQ) recueillies auprès d'un échantillon d'enfants nés au Québec en 1997-1998 et ayant suivi le parcours scolaire régulier.

Parmi les enfants visés, près de 8 sur 10 (78 %) ont réussi l'épreuve obligatoire de mathématique en sixième année du primaire. Les enfants à qui un adulte faisait la lecture quotidiennement vers 1 ½ an sont proportionnellement plus nombreux à avoir réussi l'épreuve de mathématique que les autres enfants (82 % c. 74 %).

Les résultats montrent également que les enfants qui avaient acquis les connaissances de base en mathématiques à la fin de la maternelle sont plus susceptibles d'avoir réussi l'épreuve que les autres enfants (82 % c. 53 %). Cette relation se maintient même une fois pris en compte le sexe de l'élève et le statut socioéconomique de la famille.

D'autres facteurs associés à la réussite à l'épreuve de mathématique de sixième année

L'analyse des habitudes de lecture durant l'enfance révèle que, pour les garçons, le temps passé à lire pour le plaisir en sixième année est aussi positivement associé au taux de réussite à l'épreuve obligatoire de mathématique.

Par ailleurs, le fait d'être moins motivé à l'égard des mathématiques, de passer six heures ou plus par semaine à naviguer sur Internet (en excluant les activités faites pour l'école) et le fait d'avoir davantage de problèmes d'attention sont au nombre des facteurs liés à un taux de réussite plus faible à l'épreuve de mathématique de sixième année.

L'ÉLDEQ en bref

L'Étude longitudinale du développement des enfants du Québec (ÉLDEQ), réalisée par l'Institut de la statistique du Québec, est menée auprès d'un échantillon représentatif des enfants nés au Québec en 1997-1998. L'objectif principal de cette étude est de comprendre les trajectoires qui, pendant la petite enfance, conduisent au succès ou à l'échec lors du passage dans le système scolaire. Les enfants font l'objet d'un suivi depuis l'âge d'environ 5 mois. Les collectes de données de l'ÉLDEQ ont été financées par le ministère de la Santé et des Services sociaux, le ministère de la Famille, la Fondation Lucie et André Chagnon et l'Institut de la statistique du Québec.

Le ministère de l'Éducation, du Loisir et du Sport  fournit, quant à lui, des données administratives en complément aux données d'enquête. Le fascicule rendu public aujourd'hui ainsi que les autres publications tirées de l'ÉLDEQ sont consultables sur le site Web de l'ÉLDEQ à l'adresse suivante, sous l'onglet « Publications » : www.jesuisjeserai.stat.gouv.qc.ca.


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5 janvier 2014 7 05 /01 /janvier /2014 17:28

Mathématiques et cinéma

Amateurs de cinéma, vous vous êtes peut-être déjà livrés au jeu du quiz cinéma. Sous forme de charade, d’une image tirée du film, d’une citation, d’une devinette, il existe mille façons de faire deviner. Avec des formules et des dessins mathématiques, par contre, la chose est peu commune.

 

Les geeks et amoureux de mathématiques connaissent Spiked Math, un site dédié à cet univers cartésien : jeux, bandes dessinées, forums, blagues, etc. Tout tourne autour des mathématiques. Il y a même un quiz interactif où vous devrez tenter de trouver le titre d’un film. Pas facile, hein ? A voir les exemples ci-dessous, effectivement !

 

Si certains sont (relativement) faciles à trouver pour quiconque possède un petit bagage mathématique, d’autres sont virement tirés par les cheveux. Tentez d’aller au bout de ces quarante petits défis. Rassurez-vous, vous avez des indices – mathématiques comme relatifs au film en question – pour vous simplifier la tâche !

 

 

A vous de jouer !

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5 janvier 2014 7 05 /01 /janvier /2014 17:25

 

En décembre, tous les journaux demandent à leurs rédacteurs de dresser des listes de leurs films, disques ou livres préférés des douze mois écoulés, avant d'agréger ces classements en un palmarès global. Et c'est là que les choses se compliquent.

8, 9, 10, 11, pigeon Ellen Munro via Flickr CC License by

- 8, 9, 10, 11, pigeon Ellen Munro via Flickr CC License by -

Chaque année fleurissent les tops de fin d’année, pratique considérée comme totalement incontournable par la moitié de l’univers et parfaitement aberrante par l’autre moitié. Au-delà de l’éternelle considération philosophique sur l’art, la compétition et la hiérarchisation, il y a pour le matheux quelque chose de fondamentalement attirant dans cette pratique annuelle. Le seul fait de remplir un joli tableur et de voir se compléter automatiquement la colonne dédiée à la somme automatique provoque chez lui –en tout cas chez l’auteur de ces lignes– un inlassable frisson semblable à celui qu’éprouve le fan de course automobile lorsqu’il assiste à une tentative de dépassement.

Artistiquement, le top de fin d’année se discute. Mathématiquement, on ne peut nier le plaisir qu’il apporte.

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Seulement voilà: la comptabilisation des points, qui permet de fondre chaque top individuel en un beau classement général, a elle aussi de quoi susciter la polémique. Plaçons-nous dans une situation où les classements proposés comportent 10 œuvres, effectif généralement choisi par les médias afin de ne pas offrir au lecteur des listes trop interminables. La pratique consistant à offrir 10 points au premier d’une liste et 1 point au dixième cité me semble franchement discutable: c’est pourquoi il important de la remettre en question dès aujourd’hui afin que la France cesse de vivre dans l’erreur et puisse de nouveau se regarder en face fin 2014.

Remettre en cause la suite arithmétique

Voilà ce qui me chiffonne dans le fait que l’attribution des points fonctionne comme une suite arithmétique de premier terme 10 et de raison -1 (autre façon de dire «10 points pour le premier, 1 pour le dernier»): elle semble signifier que l’œuvre placée en tête de liste vaut deux fois plus que la sixième, qui vaut elle-même cinq fois plus que la dixième. Est-ce que ce monde est sérieux?

Lorsqu’un journaliste cinéma qui voit entre 200 et 500 films dans l’année n’en retient qu’une minuscule petite dizaine, il est fort probable qu’il aime éperdument les dix films en question —oh, il y a bien quelques exceptions sur la place de Paris. Il doit ensuite les classer dans un ordre de préférence absolument déchirant.

Parfois, le classement se fait sans mal, relevant d’une logique qui n’appartient qu’à son auteur, mais revêtant pour lui une indéniable cohérence. D’autres fois, quelques films se distinguent sans mal mais l’ordre des autres films ne tient qu’à un fil, frôlant l’aléatoire.

La grande règle du classement de fin d’année, c’est qu’il n’y a pas de règle. De fait, le classement arithmétique semble en grande partie aberrant. Et parce qu’on ne plaisante pas avec les tops, voici donc d’autres propositions de comptabilisation.

Inverser la donne

Dans le fonctionnement classique, on attribue donc entre 1 et 10 points à chaque oeuvre citée par un rédacteur ou une rédactrice, son score final étant tout simplement la somme des différents points attribués. Pour départager d’éventuels ex aequo, on favorise le titre qui a été cité le plus grand nombre de fois dans l’ensemble des classements individuels.

La première méthode alternative consiste tout simplement à faire l’inverse: on classe tout simplement les œuvres de la plus citée à la moins citée, puis on départage les ex aequo en comparant leur total de points. Bienfaits de cette inversion: le titre cité six fois en dixième position devance alors très largement celui qui n’aurait été cité que deux fois mais toujours à la première place. Cela permet d’éviter que des œuvres ayant trop divisé –chef-d’œuvre pour une poignée, bouse intersidérale pour la plupart des autres– se retrouvent propulsées en haut de classement au détriment d’autres ayant fait davantage consensus.

Autre avantage de cette méthode: elle permet de savoir comment prendre en compte les rédacteurs désireux de ne pas ordonner leur liste. Une spécialité visiblement interdite dans la presse la plus mainstream, mais tolérée chaque année dans des magazines tels que les Inrocks ou les Cahiers du Cinéma, ainsi qu'à Slate (qui, de son côté, n'a pas fait de classement général cinéma mais seulement des tops individuels).

Il est alors impossible de donner 10 points au premier film et 1 point au dixième, et la méthode généralement adoptée (attribuer 5 points à chaque film, selon les critiques contactés) est aussi tiède qu’erronée. En effet : en comptant sur ses doigts ou en utilisant la formule permettant de calculer la somme des n premiers entiers –n (n+1) / 2, pour ceux qui l’auraient oublié–, on peut vite réaliser que 55 points sont attribués par chaque rédacteur dans son top… et que la rigueur voudrait donc que l’on donne 5,5 points à chaque film. Un demi-point qui pourrait faire toute la différence.

Émanciper les tops

Remontons un instant aux sources en pénétrant l’esprit d’un auteur de top. Qui n’a jamais dû résumer son année en dix titres ne connaît pas la douleur que cela constitue. Après une sélection évidemment trop large, il faut alors procéder à une sorte d’auto-amputation en se débarrassant, la larme à l’œil, de ces œuvres qu’on a tant aimées mais qu’il faut pourtant laisser à la porte de son panthéon personnel.

Arrive alors de façon quasiment systématique ce moment si affreux où la shortlist, composée de onze titres, semble impossible à réduire encore. C’est comme avoir onze enfants à sauver mais seulement dix parachutes.

Pour éviter de sacrifier un chouchou de façon barbare et arbitraire, on peut imaginer une méthode consistant à répartir (par exemple) 55 points sur un nombre de films compris entre huit (au cas où l’année ait été décevante) et quinze. Cela donnerait des classements à géométrie variable mais permettrait à chaque rédacteur de pouvoir tenir compte du profil de son année culturelle (foisonnante ou non) tout en lui donnant autant d’importance qu’à son voisin.

Petite restriction également: interdit de donner plus de 15 points à un même titre –pour éviter qu’un petit malin ne tente de filer l’intégralité de ses 55 points à son coup de cœur absolu, faussant ainsi la donne.

Petit exemple concret qui fait suite à la publication des tops cinéma de Slate. Deux des participants se sont prêtés au jeu et ont attribué 55 points à leurs 10 films favoris de l’année, en les répartissant à leur guise.

Le top d’Alexandre Hervaud

1. Cloud Atlas (15 pts) 2. La Vie d’Adèle (14 pts) 3. Blue Ruin (6 pts) 4. Le Dernier Pub avant la fin du monde (5 pts) 5. Gravity (3,5 pts) 6. Le Congrès (3 pts) 7. Lone Ranger (2,5 pts) 8. Les Flingueuses (2 pts) 9. Résurrection (2 pts) 10. Upstream Color (2 pts).

Le top d’Axel Cadieux

1. Mud (12 pts) 2. Gravity (11 pts) 3. Inside Llewyn Davis (8 pts) 4. Cloud Atlas (5 pts) 5. Snowpiercer (5 pts) 6. Le Congrès (5 pts) 7. Vandal (3 pts) 8. A Touch of Sin (3 pts) 9. The Place Beyond the Pines (2 pts) 10. 40 ans mode d’emploi (1 pt).

Les tops deviennent alors plus personnels et subjectifs encore, et les coups de cœur de chacun ressortent de façon plus criante.

Moduler en douceur

La méthode précédente mérite d’être testée à grande échelle mais on peut également avoir recours à des ajustements plus modestes selon les besoins.

Lorsque les contributeurs d’un média sont nombreux mais que celui-ci souhaite proposer (sans tricher) un top qui lui ressemble au maximum, il peut être nécessaire de donner plus d’importance aux classements des rédacteurs principaux. C’est le choix effectué par le site Accréds, consacré à l’actualité des festivals de cinéma, auquel je contribue: à l’occasion du top annuel des meilleurs films de festivals, les journalistes cinéma du site peuvent citer dix films (notés de 10 à 1, mais coefficient 2), mais les contributeurs occasionnels n’en donnent que 5 (notés de 10 à 6). Chacun participe ainsi à hauteur de son degré d’activité sans pour autant se sentir spolié.

Toujours sur Accréds, un roi du tableur nommé Hendy Bicaise s’amuse chaque année à compiler les classements des principaux titres de la presse française. Seulement voilà: pour ne pas donner autant d’importance à chaque média ciné, dont certains semblent plus que d’autres coller à l’image de son site, Hendy Bicaise applique à chaque liste des coefficients dont il préfère garder les valeurs pour lui. Une façon de rendre encore un peu plus subjective ce qui aurait pu n’être qu’une simple somme de tops.

Du côté de chez Tess Magazine, site féminin et culturel, on s’autorise à faire preuve d’un peu moins de transparence afin de coller d’aussi près que possible à la ligne éditoriale. Si l’on compare les tops séries individuels et le classement général proposé en haut de page, il se produit des choses étranges: certaines séries présentes dans le top collectif ne figurent que dans un seul des classements individuels…

Explication de Pamela Pianezza, rédactrice en chef du site: comme les tops individuels sont trop disparates en raison du nombre immense de séries diffusées chaque année, le classement général est établi à part, en comité de rédaction, comme on le ferait pour un palmarès de festival. Ce sont alors les séries «les plus Tess» (dixit Pamela Pianezza) qui sont désignées par la rédac, fière de présenter un classement cohérent et faisant consensus dans le bon sens du terme.

Les possibilités sont donc multiples, infinies, plus ou moins mathématiques, mais l’essentiel, après tout, est que chaque titre de presse puisse présenter un top qui lui ressemble, qui le satisfasse autant que possible, et lui donne une image de média prescripteur, respectable, qu’on ait envie de continuer à suivre pendant encore une année au moins.

Thomas Messias

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"Le Professeur Ibni est un mathématicien tchadien de renom, Ancien Directeur du CNAR (CNRS tchadien), Ancien Recteur et Ancien Ministre de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche, il avait initié plusieurs jumelages avec des Universités Etrangères, au service de l’enseignement des sciences dans son pays et en Afrique plus généralement"

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