DEVELOPPEMENTS LIMITES USUELLES - ibni

sin (x) = x - x³/3! + x⁵/5! + ... + (-1)^p x^2p+1/(2p+1)! + o(x^2p+1)

cos (x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! + ... + (-1)^p x^2p/(2p)! + o(x^2p)

tan (x) = x + x³/3! + 2x⁵/15 + o(x⁶)

sh (x) = x + x³/3! + x⁵/5! + ... + x^2p+1/(2p+1)! + o(x^2p+1)

ch (x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + ... + x^2p/(2p)! + o(x^2p)

th (x) = x - x³/3! + 2x⁵/15 + o(x⁶)

1/(1-x) = 1 + x + ... + xⁿ + o(xⁿ)

1/(1+x) = 1 - x + ... + (-1)ⁿ xⁿ + o(xⁿ)

ln (1+x) = x - x²/2 + ... + (-1)ⁿ⁺¹ xⁿ/n + o(xⁿ)

ln (1-x) = -x - x²/2 - ... - xⁿ/n + o(xⁿ)

exp (x) = 1 + x + x²/2! + ... + xⁿ/n! + o(xⁿ)

(1+x)^a = 1 + ax + + o(xⁿ)

Arctan (x) = x - x³/3 + ... + (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) + o(x²ⁿ⁺¹)

Arcsin (x) =

Pour déterminer le développement limité d'une fonction en a ¹ 0, il faut faire le changement de variable y = x - a , ce qui permet d'obtenir une fonction de y dont on cherche le développement en 0. On peut aussi mettre un terme en facteur.

Exemples:

exp (cos x) = exp (1- x²/2 + o(x³)) = e exp(- x²/2 + o(x³)) = e ( 1 - x²/2 + o(x³))