Axiomes de Zermelo-Fraenkel (du CHOIX) - ibni

ZERMELO Ernst, allemand, 1871-1953

Étudiant à  Halle et Fribourg (Freiburg im Breisgau), Zermelo obtint son doctorat à Berlin (1894) portant sur le calcul des variations (Untersuchungen zur Variations-Rechnung), supervisé par Fuchs etSchwarz. Il enseigna à Göttingen, Zürich et Fribourg.

Auteur du célèbre axiome du choix, proposé en 1904, il s'intéressa tout particulièrement, avec Fraenkel et, indépendamment, du norvégienSkolem, à l'axiomatisation de la théorie des ensembles de Cantor :Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Études sur les fondements de la théorie des ensembles, 1908).

Sept axiomes (ou 8, le huitième étant dû à Fraenkel) dits parfois ZF ou ZFC, pour signifier respectivement axiomes de Zermelo-Fraenkel etaxiomes de Zermelo-Fraenkel + axiome du Choix, et dans ce dernier cas nous avons 9) afin de lever certaines ambiguïtés et contradictions de ladite théorie.

Axiomes de Zermelo-Fraenkel : 

L'axiome du choix (1904) :

Le célèbre axiome pose le problème de la notiond'existencemathématique et a fait couler beaucoup d'encre... Après les contradictions observées par l'usage de la théorie des ensembles de Cantor, il est à l'origine de la déstabilisation de la science mathématique au début du 20è siècle, qui l'on appelalacrise des fondements. Récemment encore, de nombreux mathématiciens le contestaient. On peut l'énoncer de plusieurs manières équivalentes, plus ou moins complexes.

La plus simple est l'assertion équivalente de Russell :

Le produit cartésien de toute classe d'ensembles non vides est non vide

ou encore :

Pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, en nombre fini ou non, il existe un algorithme(ditfonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble non vide.

L'axiome du choix ne pose problème que dans le cas d'un nombre infininon dénombrabled'ensembles : choisir, c'est discerner un élément parmi d'autres. Dans le cas fini ou dénombrable, les éléments peuvent être rangés, comptés; on peut alors choisir. Mais dans le cas infini non dénombrable, comment choisir dans un ensemble continu ? Des mathématiciens, et non des moindres, commePeano, Hadamard, Lebesgue, Baire et Borel refusèrent l'axiome du choix.

Un exemple d'usage intéressant : 

Cette querelle de l'axiome du choix dura près de 60 ans. En 1930, Hilbert, dans ses Fondements de la Géométrie (Grundlagen der Geometrie), exprime son inquiétude mais garde espoir : "Du paradis queCantor a créé pour nous, nul ne doit pouvoir nous chasser".

En 1938,Gödel montre que si la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sansl'hypothèse du continu, alors elle le demeure avec leurs adjonctions.

En 1963, Paul J. Cohen montre l'indépendance de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu de Cantor que l'on croyait liés, en démontrant l'indécidabilité de l'hypothèse du continu. Il met ainsi fin à la querelle et permet de distinguer les résultats qui peuvent être démontrés avec ou sans l'axiome du choix.

Brouwer et l'axiome (ou principe) du tiers exclu d'Aristote : 

Bon ordre, Ensemble bien ordonné, théorème de Zermelo :

Cantor se posa la question de savoir (1883) s'il existait, sur tout ensemble,

une relation d'ordre de sorte que toute partie non vide admette un plus petit élément.

Par plus petit élément x d'une partie A non vide d'un ensemble ordonné (E,), on entend un élément m de A tel que pour tout x dans A, m  x    (l'appartenance de m à A est fondamental :borne inférieure)

Si tel est le cas pour un ensemble E, on parle debon ordreet on dit que E estbien ordonné. Son plus petit élément est souvent appelé son 1er élément.

 Remarquer qu'une relation de bon ordre  est une relation d'ordre total : deux éléments a et b sont toujours comparables : a  b ou b  a.     relation d'ordre

Soit E un ensemble muni d'une relation binaire  telle que pour tous éléments a et b on ait ab ou ba. 
On suppose en outre que toute partie non vide admet un plus petit élément au sens de la relation. 
Montrer que la relation  est un ordre total dans E.     Indication : il suffit de montrer la transitivité.

Dans une lettre envoyée àHilbert, Zermelo démontra (1904) que si on admet l'axiome du choix:

Tout ensemble E peut être bien ordonné

C'est à dire qu'il existe un ordre sur E qui est un bon ordre. Il est aussi prouvé qu'axiome du choix et existence d'un bon ordre sur tout ensemble sont des propositions équivalentes.

Le cas deN= {0, 1, 2, ..., } est trivial : l'ordre total usuelest manifestement un bon ordre à condition de ranger les entiers en ordre croissant. on parlera alors de (N,).

• Si on renverse l'ordre en considérant (N,), soitN= {..., 3, 2, 1, 0}, on n'a plus de bon ordre !

• (N,), soitZ= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} n'est manifestement pas bien ordonné.

• NNmuni de l'ordre lexicographiqueest bien ordonné (heureusement pour les dicos...).

• Et, concernantR, aucun bon ordre n'a été exhibé aujourd'hui !

On a un résultat fort intéressant :

  Zorn             Bon ordre et nombres ordinaux :             Les 23 problèmes de Hilbert : 

L'ensemble totalement ordonné (N,),  soit N = {..., 3, 2, 1, 0} n'est pas bien ordonné. 
On note w* son ordinal. Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble ordonné  
soit bien ordonné est qu'il ne contienne aucune partie d'ordinal w*

 Pour en savoir plus :

• E. Kamke,Théorie des ensembles , Ch. 3 : axiome du choix   
  Ch. 5 : ensembles bien ordonnés, ordinaux. Ed. Dunod, Paris - 1964.
• Théorème de Zermelo : Théorie des ensembles, Ch, III.19, lemme 3,N. Bourbaki
• Une critique deLebesgueconcernant la preuve du théorème de Zermelo :
  http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1907__35_/BSMF_1907__35__202_1....pdf
• La démonstration dans l'histoire, Introduction à l'axiome du choix, par Michel Guillemot
  pages 367-386. Éd. IREM de Besançon.
• Axiome du choix et bon ordre, univ. Rennes, cours de Francis Nier : http://name.math.univ-rennes1.fr/francis.nier/enseignement/ALGLIN/zorn.pdf

• Les mathématiques de la décision, Peter C. Fishburn, Ed. Gauthier-Villars.

• Ordinaux, sur le site des ENS : http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/logique/ordinaux.pdf