Les marches aleatoires...

4 Mars 2019 , Rédigé par MS Publié dans #OEIL SUR LES MATHEMATIQUES

Trois marches aléatoires (indépendantes) isotropes sur le réseau $\mathbb{Z}^2$ ; 10 000 pas.

En mathématiques et en physique théorique, une marche au hasard est un modèle mathématique d'un système possédant une dynamique discrète composée d'une succession de pas aléatoires, ou effectués « au hasard ». On emploie également fréquemment les expressions marche aléatoire, promenade aléatoire ou random walk en anglais. Ces pas aléatoires sont de plus totalement décorrélés les uns des autres ; cette dernière propriété, fondamentale, est appelée caractère markovien du processus, du nom du mathématicien Markov. Elle signifie intuitivement qu'à chaque instant, le futur du système dépend de son état présent, mais pas de son passé, même le plus proche. Autrement dit, le système « perd la mémoire » à mesure qu'il évolue dans le temps. Pour cette raison, une marche aléatoire est parfois aussi appelée « marche de l'ivrogne ».

Cette modélisation mathématique permet de rendre compte de certains phénomènes naturels, dont l'exemple le plus fameux est le mouvement brownien, correspondant aux mouvements en apparence aléatoires de grains de pollens immergés dans l'eau.

En mathématiques ou en informatique, on étudie souvent des marches au hasard sur des réseaux réguliers ou sur des graphes plus complexes. C'est par exemple la méthode utilisée par le moteur de recherche Google pour parcourir, identifier et classer les pages du réseau internet.

Techniquement, les marches aléatoires sont du domaine de la théorie des probabilités. Une marche aléatoire est en effet un processus stochastique du type chaîne de Markov. Elle se décompose en unités élémentaires appelées pas, dont la longueur peut être elle-même constante, aléatoire ou fixée par le réseau ou le graphe sur lequel on circule. À chaque pas, on a donc un éventail de possibilités pour choisir au hasard la direction et la grandeur du pas. Cet éventail de possibilités peut être discret (choix parmi un nombre fini de valeurs), ou continu.